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在△ABC中，為三個(gè)內(nèi)角為三條邊，且

（I）判斷△ABC的形狀；

（II）若，求的取值范圍．

【解析】本題主要考查正余弦定理及向量運(yùn)算

第一問利用正弦定理可知，邊化為角得到

所以得到B=2C，然后利用內(nèi)角和定理得到三角形的形狀。

第二問中，

得到。

（1）解：由及正弦定理有：

∴B=2C，或B+2C，若B=2C，且，∴，；∴B+2C，則A=C，∴是等腰三角形。

（2）

△ABC中，D在邊BC上，且BD＝2，DC＝1，∠B＝60^o，∠ADC＝150^o，求AC的長及△ABC的面積。

【解析】本試題主要考查了余弦定理的運(yùn)用。利用由題意得,

，并且有得到結(jié)論。

解：（Ⅰ）由題意得,………1分…………1分

（Ⅱ）………………1分

在四棱錐中，平面，底面為矩形，.

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求證：；

（Ⅱ）若邊上有且只有一個(gè)點(diǎn)，使得，求此時(shí)二面角的余弦值.

【解析】第一位女利用線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理得到。當(dāng)a=1時(shí)，底面ABCD為正方形，

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912265168707359/SYS201207091227226245550949_ST.files/image014.png">,………………2分

又，得證。

第二問，建立空間直角坐標(biāo)系，則B(1,0,1)D(0,a,0)C(1,a,0)P(0,0,1)……4分

設(shè)BQ=m，則Q(1，m,0)(0《m《a》

要使，只要

所以，即………6分

由此可知時(shí)，存在點(diǎn)Q使得

當(dāng)且僅當(dāng)m=a-m，即m=a/2時(shí)，BC邊上有且只有一個(gè)點(diǎn)Q，使得

由此知道a=2,  設(shè)平面POQ的法向量為

,所以    平面PAD的法向量

則的大小與二面角A-PD-Q的大小相等所以

因此二面角A-PD-Q的余弦值為

解：(Ⅰ)當(dāng)時(shí)，底面ABCD為正方形，

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912265168707359/SYS201207091227226245550949_ST.files/image014.png">,又………………3分

(Ⅱ) 因?yàn)锳B,AD,AP兩兩垂直，分別以它們所在直線為X軸、Y軸、Z軸建立坐標(biāo)系，如圖所示，

則B(1,0,1)D(0,a,0)C(1,a,0)P(0,0,1)…………4分

設(shè)BQ=m，則Q(1，m,0)(0《m《a》要使，只要

所以，即………6分

由此可知時(shí)，存在點(diǎn)Q使得

當(dāng)且僅當(dāng)m=a-m，即m=a/2時(shí)，BC邊上有且只有一個(gè)點(diǎn)Q，使得由此知道a=2,

設(shè)平面POQ的法向量為

,所以    平面PAD的法向量

則的大小與二面角A-PD-Q的大小相等所以

因此二面角A-PD-Q的余弦值為

如圖，點(diǎn)P為斜三棱柱ABC－A₁B₁C₁的側(cè)棱BB₁上一點(diǎn)，PM⊥BB₁交AA₁于點(diǎn)M，PN⊥BB₁交CC₁于點(diǎn)N.

(1)求證：CC₁⊥MN.

(2)在任意△DEF中，有由余弦定理DE²＝DF²＋EF²－2DF·EFcos∠DFE，拓展到空間，類比三角形的余弦定理，寫出一個(gè)斜三棱柱的三個(gè)側(cè)面積與其中兩個(gè)側(cè)面所成的二面角之間的關(guān)系式，并加以證明．