題目列表(包括答案和解析)
（本題14分，第（1）小題6分，第（2）小題8分）
已知函數
的定義域為
（
為常數）.
（1）證明：當
時，函數
在定義域上是減函數；
（2）求函數在定義域上的最大值及最小值，并求出函數取最值時
的值．
本題14分，第（1）小題6分，第（2）小題8分）
已知函數
.
（1）用定義證明：當
時，函數
在
上是增函數；[來源:學.科.網Z.X.X.K]
（2）若函數在
上有最小值
，求實數
的值．
（本題14分，其中第（1）小題6分，第（2）小題8分）
設在直三棱柱
中，
，
， 
依次為
的中點．
（1）求異面直線
、
所成角
的大�。ㄓ梅慈呛瘮抵当硎荆�；
（2）求點
到平面
的距離．
. 
時，函數
在
上是增函數；在
上有最小值
，求實數
的值．（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分。有時可用函數
描述學習某學科知識的掌握程度，其中x表示某學科知識的學習次數（
），
表示對該學科知識的掌握程度，正實數a與學科知識有關。
（1） 證明：當
時，掌握程度的增加量
總是下降；
（2） 根據經驗，學科甲、乙、丙對應的a的取值區間分別為
,
,
。當學習某學科知識6次時，掌握程度是85%，請確定相應的學科。
一、填空題 (每題5分)
1)
2)
3)0 4) 
5)
6) 
7）②④ 8）
9）
10）
11）7
二、選擇題(每題5分)
12、A 13、B 14、D 15、D
三、解答題
16、16、
（1）因為
，所以∠BCA（或其補角）即為異面直線
與
所成角
-------(3分)
∠ABC=90°, AB=BC=1，所以
， -------(2分)
即異面直線與所成角大小為
。
-------(1分)
（2）直三棱柱ABC-A1B
，所以
即為直線A
。 -------(2分)
中，AB=BC=1得到
，
中，得到
， -------(2分)
所以
-------(2分)
17、
-------(1分)
=
-------(1分)
=
-------(1分)
若
為其圖象對稱中心的橫坐標，即
=0， -------(1分)
， -------(1分)
解得：
-------(1分)
（2）
， -------(2分)
即
，而
，所以
。
-------(2分)
，
， -------(2分)
所以
------(2分)
18、
，顧客得到的優惠率是
。 -------(5分)
(2)、設商品的標價為x元，則500≤x≤800 ----- -(2分)
消費金額： 400≤0.8x≤640
由題意可得：
（1）
≥
無解
------(3分)
或（2）
≥ 得：625≤x≤750 ------(3分)
因此，當顧客購買標價在
元內的商品時，可得到不小于的優惠率。------(1分)
19、（1）y＝
?
＝(2x－b)＋(b＋1)＝2x＋1
-----(1分)
與軸的交點
為
，所以
；
-----(1分)
所以
，即
，
-----(1分)
因為
在上，所以
，即
-----(1分)
（2）設
（
），
即
（） ----(1分)
（A）當
時，
----(1分)
=
=
，而
，所以
----(1分)
（B）當
時，
----(1分)
= 
=
，
----(1分)
而
，所以
----(1分)
因此
（）
----(1分)
（3）假設
，使得
，
（A）
為奇數
（一）
為奇數，則
為偶數。則
，
。則
，解得：
與矛盾。
----(1分)
（二）為偶數，則為奇數。則
，
。則
，解得：
（
是正偶數）。 ----(1分)
（B）為偶數
（一）為奇數，則為奇數。則，。則
，解得：
（
是正奇數）。
----(1分)
（二）為偶數，則為偶數。則，。則
，解得：
與矛盾。 ----(1分)
由此得：對于給定常數m(
)，這樣的總存在；當是奇數時，；當是偶數時，。
----(1分)
20、（1）解法（A）：點P與點F（2，0）的距離比它到直線＋4＝0的距離小2，所以點P與點F（2，0）的距離與它到直線＋2＝0的距離相等。 ----(1分)
由拋物線定義得：點
在以
為焦點直線＋2＝0為準線的拋物線上， ----(1分)
拋物線方程為
。 ----(2分)
解法（B）：設動點
，則
。當
時，
，化簡得：
，顯然
，而，此時曲線不存在。當時，
，化簡得：。
（2）
，
，
，
----(1分)
，
，即
，
，
----(2分)
直線為
，所以
----(1分)
----(1分)
由（a）（b）得：直線恒過定點
。
----(1分)
1、（逆命題）如果直線，且與拋物線相交于A、B兩點，O為坐標原點。求證：OA⊥OB （評分：提出問題得1分，解答正確得1分）
（若，求證：
?
=0，得分相同）
2、（簡單推廣命題）如果直線L與拋物線
＝2px(p>0)相交于A、B兩點，且OA⊥OB。求證：直線L過定點（2p，0）
或：它的逆命題（評分：提出問題得2分，解答正確得1分）
3、（類比）
3．1（1）如果直線L與橢圓
＋
＝1(a>b>0)相交于A、B兩點，M是其右頂點，當MA⊥MB。求證：直線L過定點(
,0)
3．1（2）如果直線L與橢圓＋＝1(a>b>0)相交于A、B兩點，M是其左頂點，當MA⊥MB。求證：直線L過定點(
,0)
3．1（3）或它的逆命題
3．2（1）如果直線L與雙曲線
－
＝1(a>0,b>0)相交于A、B兩點，M是其右頂點，當MA⊥MB。求證：直線L過定點(
,0)(a≠b)
3．2（2）如果直線L與雙曲線－＝1(a>0,b>0)相交于A、B兩點，M是其左頂點，當MA⊥MB。求證：直線L過定點(
,0)(a≠b)
3．2（3）或它的逆命題
（評分：提出問題得3分，解答正確得3分）
4、（再推廣）
直角頂點在圓錐曲線上運動
如：如果直線L與拋物線＝2px(p>0)相交于A、B兩點，P是拋物線上一定點(
,
)，且PA⊥PB。求證：直線L過定點(＋2p,－)
（評分：提出問題得4分，解答正確得3分）
5、（再推廣）
如果直線L與拋物線＝2px(p>0)相交于A、B兩點，P是拋物線上一定點(,)，PA與PB的斜率乘積是常數m。求證：直線L過定點(－
,－)
（評分：提出問題得5分，解答正確得4分）
或
?
為常數
頂點在圓錐曲線上運動并把直角改為一般定角或OA與OB的斜率乘積是常數或?為常數
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