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設橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左．右焦點分別為F₁F₂，上頂點為A，過點A與AF₂垂直的直線交x軸負半軸于點Q，且2

F1F2

+

F2Q

=

0

．
（1）若過A．Q．F₂三點的圓恰好與直線l：x-

3

y-3=0相切，求橢圓C的方程；
（2）在（1）的條件下，過右焦點F₂作斜率為k的直線l與橢圓C交于M．N兩點．試證明：

1

|F2M|

+

1

|F2N|

為定值；②在x軸上是否存在點P（m，0）使得以PM，PN為鄰邊的平行四邊形是菱形，如果存在，求出m的取值范圍，如果不存在，說明理由．

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設橢圓C₁：的左、右焦點分別是F₁、F₂，下頂點為A，線段OA的中點為B(O為坐標原點)，如圖．若拋物線C₂：與y軸的交點為B，且經過F₁，F₂點．

(Ⅰ)求橢圓C₁的方程；

(Ⅱ)設M(0，)，N為拋物線C₂上的一動點，過點N作拋物線C₂的切線交橢圓C₁于P、Q兩點，求△MPQ面積的最大值．

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設橢圓C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦點分別是F₁、F₂，下頂點為A，線段OA的中點為B（O為坐標原點），如圖．若拋物線C₂：y=x²-1與y軸的交點為B，且經過F₁，F₂點．
（Ⅰ）求橢圓C₁的方程；
（Ⅱ）設M（0，-

4

5

），N為拋物線C₂上的一動點，過點N作拋物線C₂的切線交橢圓C₁于P、Q兩點，求△MPQ面積的最大值．

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一．選擇題：DCDDA  DDBBC

解析：1：復數i的一個輻角為90⁰，利用立方根的幾何意義知，另兩個立方根的輻角分別是90⁰+120⁰與90⁰+240⁰，即210⁰與330⁰，故虛部都小于0，答案為（D）。 

2：把x=3代入不等式組驗算得x=3是不等式組的解，則排除(A)、(B), 再把x=2代入不等式組驗算得x=2是不等式組的解，則排除(D)，所以選(C).

3：在題設條件中的等式是關于與的對稱式，因此選項在A、B為等價命題都被淘汰，若選項C正確，則有，即，從而C被淘汰，故選D。

4：“對任意的x₁、x₂­，當時，”實質上就是“函數單調遞減”的“偽裝”，同時還隱含了“有意義”。事實上由于在時遞減，從而由此得a的取值范圍為。故選D。

5：由韋達定理知

.從而，故故選A。

6：當點A為切點時，所求的切線方程為，當A點不是切點時，所求的切線方程為故選D。

7：由已知條件可知，EF∥平面ABCD，則F到平面ABCD的距離為2， ∴V_F－ABCD＝?3²?2＝6，而該多面體的體積必大于6，故選（D）.

8：由二項展開式系數的性質有C＋C＋…＋C＋C＝2，選B.

9：取特殊數列=3，則==10，選(B).

10：本題是考查雙曲線漸近線夾角與離心率的一個關系式，故可用特殊方程來考察。取雙曲線方程為－=1，易得離心率e=,cos=，故選C。

二．填空題：11、； 12、；13、；14、，；15、，；

解析：11：因為（定值），于是，，，又，  故原式=。

12：因為正方形的面積是16，內切圓的面積是，所以豆子落入圓內的概率是．

13：設k = 0，因拋物線焦點坐標為把直線方程代入拋物線方程得，∴，從而。

14.（略）

15.（略）

三．解答題：

16．解：（1）∵對任意，，∴--2分

    ∵不恒等于，∴--------------------------4分

   （2）設

①時，由  解得：

由  解得其反函數為  ，-----------------7分

②時，由  解得：

解得函數的反函數為，--------------------9分

∵

∴------------------------------------------------------------------12分

１7．解：（Ⅰ）依題意，有

，．

因此，的解析式為；      …………………6分

（Ⅱ）由（）得（），解之得

（）

由此可得

且，

所以實數的取值范圍是．    …………………12分

18.（I）因為側面是圓柱的的軸截面，是圓柱底面圓周上不與、重合一個點，所以  …………………2分

又圓柱母線^平面， Ì平面，所以^，

又，所以^平面，

因為Ì平面，所以平面平面；…………………………………6分

（II）設圓柱的底面半徑為，母線長度為，

當點是弧的中點時，三角形的面積為，

三棱柱的體積為，三棱錐的體積為，

四棱錐的體積為，………………………………………10分

圓柱的體積為，                    ………………………………………………12分

四棱錐與圓柱的體積比為.……………………………………………14分

19.(Ⅰ)解：∵

        ∴

∴數列是首項為（），公比為2的等比數列，………………4分

，

，∴數列是首項為1，公差為1的等差數列

，∴…                      …………………7分

（Ⅱ）令代入得：

解得:

由此可猜想，即 …………………10分

下面用數學歸納法證明：

（1）當n＝1時，等式左邊＝1，右邊＝,

當n＝1時，等式成立，

（2）假設當n＝k時，等式成立，即

當n＝k＋1時

∴當n＝k＋1時，等式成立，

綜上所述，存在等差數列，使得對任意的有成立。              …………………14分

20.解：(Ⅰ)∵軸，∴,由橢圓的定義得：，  ……………2分

∵，∴，

又得    ∴      ………………4分

∴，∴所求橢圓C的方程為．  …………………6分

(Ⅱ)由（Ⅰ）知點A(－2,0)，點B為（0，－1），設點P的坐標為

則，,  由－4得－，

∴點P的軌跡方程為      …………………8分

設點B關于P的軌跡的對稱點為，則由軸對稱的性質可得：，

解得：，…………………10分

∵點在橢圓上，

∴ ，

整理得解得或  …………………12分

∴點P的軌跡方程為或，經檢驗和都符合題設，

∴滿足條件的點P的軌跡方程為或．…………………14分

21.解（1）         …………………1分

，

當時，函數有一個零點；

當時，，函數有兩個零點�！�………………3分

（2）令，則

 ，…………………5分

在內必有一個實根。即，使成立�！�………………8分

（3）       假設存在，由①知拋物線的對稱軸為x＝－1，且

∴     ………………10分

由②知對,都有

令得

由得，                          …………………12分

當時，，其頂點為（－1，0）滿足條件①，又對,都有，滿足條件②。

∴存在，使同時滿足條件①、②。     …………………14分