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如圖，A為橢圓上的一個動點，弦AB、AC分別過焦點F₁、F₂，當AC垂直于x軸時，恰好有AF₁∶AF₂＝3∶1．

(Ⅰ)求橢圓的離心率；

(Ⅱ)設．

①當A點恰為橢圓短軸的一個端點時，求λ₁＋λ₂的值；

②當A點為該橢圓上的一個動點時，試判斷是λ₁＋λ₂否為定值？若是，請證明；若不是，請說明理由．

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如圖，A為橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上的一個動點，弦AB、AC分別過焦點F₁、F₂，當AC垂直于x軸時，AF₁=3AF₂．
（1）求橢圓的離心率；
（2）設

AF1

=λ1

F1B

 ，   

AF2

=λ2

F2C

，證明：當A點在橢圓上運動時，λ₁+λ₂是定值．

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一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分；每個小題給出四個選項，只有一項符合要求）

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

C

B

A

B

D

B

B

B

A

D

二、填空題（本大題共5個小題，每小題5分，共25分）。

11、；12、；13、；14、（）；15、①③④

三、解答題（本大題共6小題，共75分，解答題應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟）.

16.解：（1）經過各交叉路口遇到紅燈，相當于獨立重復試驗，∴恰好遇到3次紅燈概率為……………………………………………………（6分）

   （2）記“經過交叉路口遇到紅燈”事件為A，張華在第1、2個交叉路口未遇到紅燈，在第3個交叉路口遇到紅燈的概率為：

………………………………………………………（12分）

17.解：（1）∵

∴

又，∴　……………………………………………………2分

又的等比中項為2，∴

而，∴，∴，…………………………………4分

∴，

∴………………………………………………………6分

（2）……………………………………………………8分

由∴

∴或………………………………………………………………10分

故　　………………………………………………………12分

18.（1）解：由得

∵

∴

∴

∴    ∴ 

    ∴……………………………………………8分

（2）

……………………12分

19.解法一（幾何法）

（1）證明：∵E是CD中點

∴ED=AD=1

∴∠AED=45°

同理∠CEB=45°

∴∠BEA=90°  ∴EB⊥EA

∵平面D₁AE⊥平面ABCE

∴EB⊥平面D₁AE，AD₁平面D₁AE

∴EB⊥AD₁……4分

（2）設O是AE中點，連結OD₁，因為平面

　　過O作OF⊥AB于F點，連結D₁F，則D₁F⊥AB，∴∠D₁FO就是二面角D₁-AB-E的平面角.

　　在Rt△D₁OF中,D₁O=,OF=

∴

∴,即二面角D₁-AB-E等于………………………9分

（3）延長FO交CD于G，過G作GH⊥D₁F于H點，

∵AB⊥平面D₁FG  ∴GH⊥平面D₁BA，

∵CE//AB   ∴CE//平面D₁BA.

∴C到平面D₁BA的距離等于GH.

又D₁F=

∵FG?D₁O=D₁F?GH

∴GH=　　即點　　　………………………13分　

另解：在Rt△BED₁中，BD₁=. 又AD₁=1，AB=2

∴   ∴∠BD₁A=90°  ∴

設點C到平面ABD₁的距離為h　則

∴  

∴…………………………………13分

解法二：（向量法）

（1）證明：取AE的中點O，AB的中點F，連結D₁O、OF，則OF//BE。

∵　DE=DA=1  ∴∠AED=45°

 同理∠BEC=45° ∴∠BEA=90° ∴BE⊥EA  ∴OF⊥AE 

由已知D₁O⊥EA 

又平面O₁AE⊥平面ABCE，∴D₁O⊥平面ABCE，以O為坐標原點，OF、OA、OD₁所在直線分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標系。則B（），E（），D₁（），A（），C（）

∴?=（）?（）=0

∴ ………………………………………………4分

（2）解：設平面ABD₁的一個法向量為

則

令，則y=1，z=1

∴  …………………………………………………………………6分

∵ OD_1­⊥平面ABCE.

∴是平面ABE的一個法向量.

∴即二面角D₁-AB-E等于.  ………………………9分

（3）設點C到平面ABD₁的距離為d，

則……………………………………………………………13分

20.解：（1）因為在區間（，-2]上單調遞增，在區間[-2，2]上單調遞減，所以方程f′(x)的兩根滿足，…………2分

由，得，所以，而，故b=0………………4分

則,從而

故……………………………………………………………………6分

（2）對任意的t₁,t₂[m-2,m],不等式恒成立，等價于在區間[m-2,m]上，當0＜m2時，[m-2,m][ -2,2]，所以在區間[m-2,m]上單調遞減，

∴， ……………………………………………9分

解得　……………………………………………………………………11分

又，∴，∴m的最小值是　……………………………………13分

21.解：（1）當AC垂直于x軸時，  由橢圓定義，有

∴，　　………………………………………………………………2分

在Rt△AF₁F_2­中，

∴  ∴  ∴…………………………………………4分

（2）由得：∴

∴  ∴  ∴橢圓方程為

即   設,,

(i)若直線AC的斜率存在，則直線AC方程為

∴  代入橢圓方程有：

∵  ∴

由韋達定理得：所以 ………………………8分

于是 同理可得：

故……………………………………………………………………12分

（ii）若直線AC⊥x軸，，，，這時，

綜上可知，是定值6　　…………………………………………………………13分