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一個球的表面積為，則它的內接圓柱的體積的最大值是         .

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一、 A C C D A  B D B A C    D C

二、13.   14. ①甲乙的平均數相同，均為85；② 甲乙的中位數相同，均為86；       ③乙的成績較穩定，甲的成績波動性較大；……       15.       16.

三、17（Ⅰ）

            =

            =

由得，或

由得 或.

故函數的零點為和.       ……………………………………6分

（Ⅱ）由，得

由得 .又

由得 

         ， 

                  ……………………………………12分

18. 由三視圖可知：，底面ABCD為直角梯形,，PB=BC=CD=1,AB=2

                            …………3分

(Ⅱ) 當M為PB的中點時CM∥平面PDA.

取PB中點N,連結MN，DN，可證MN∥DN且MN＝DN

∴CM∥DN，∴CM∥平面PDA                                …………6分

 (Ⅲ)分別以BC、BA、BP所在直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系.

假設在BC邊上存在點Q，使得二面角A-PD-Q為  

∴

同理，，可得

=，

解得………………………………………12分

19. （Ⅰ）設“世博會會徽”卡有張，由,得=6.

 故“海寶”卡有4張. 抽獎者獲獎的概率為.                 …………6分

（Ⅱ），    的分布列為

或

1

2

3

4

p

                                                                         ………………………………12分

20. （Ⅰ）證明 設

相減得  

注意到  

有        

_即                        …………………………………………5分

（Ⅱ）①設

由垂徑定理，

即       

化簡得  

當與軸平行時，的坐標也滿足方程.

故所求的中點的軌跡的方程為；

…………………………………………8分

②     假設過點P(1,1)作直線與有心圓錐曲線交于兩點，且P為的中點，則

由于 

直線，即，代入曲線的方程得

         即    

         由  得.

故當時，存在這樣的直線，其直線方程為；

當時，這樣的直線不存在.        ………………………………12分

21. （Ⅰ）

由得                   …………………………3分     

當時，當時，

故函數的單調增區間為，單調減區間為.   ………………………5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）

由得 

當時，當時，

在處取得極大值,

……………………………………7分

（1）       當時，函數在區間為遞減 ，

_（2）     當時， ，

（3）       當時，函數在區間為遞增 ，

                                          ………………………………………12分

22. （Ⅰ）

              …………………………………6分

（Ⅱ）解法1：由，得

猜想時，一切時恒成立.

①當時，成立.

②設時，，則由

得=

時，

由①②知時，對一切，有.   ………………………………10分

解法2：假設

記，可求

故存在，使恒成立.            …………………………………10分

（Ⅲ）證法1：

，由（Ⅱ）知

                                     …………………………………14分

證法2：

猜想.數學歸納法證明

①當時，成立

②假設當時，成立

由①②對，成立，下同證法1。

                                            …………………………………14分