題目列表(包括答案和解析)
下列4個命題：
①在△ABC中，∠A>∠B是sinA>sinB的充要條件；
②若a>0,b>0,則a3+b3≥3ab2恒成立；
③對于函數f（x）=x2+mx+n,若f（a）>0,f（b）>0,則f（x）在（a,b）內至多有一個零點；
④y=f（x-2）的圖象和y=f（2-x）的圖象關于x=2對稱。
其中正確命題序號________________。
下列4個命題：
①在△ABC中，∠A>∠B是sinA>sinB的充要條件；
②若a>0,b>0,則a3+b3≥3ab2恒成立；
③對于函數f（x）=x2+mx+n,若f（a）>0,f（b）>0,則f（x）在（a,b）內至多有一個零點；
④y=f（x-2）的圖象和y=f（2-x）的圖象關于x=2對稱。
其中正確命題序號________________。在△ABC中，“cosA<cosB”是“sinA>sinB”成立的 （ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分條件也不必要條件
在△ABC中，“cosA<cosB”是“sinA>sinB”成立的 （ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分條件也不必要條件
三、選擇題
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
D
A
B
B
D
B
D
A
B
C
B
四、填空題
13．2 14. 31 15. 
16. 2.
三、解答題
17．解：（Ⅰ）
．
的最小正周期
．
（Ⅱ）由
解得
∴ 
的單調遞增區間為
。
18．（I）解：記這兩套試驗方案在一次試驗中均不成功的事件為A，則至少有一套試驗成功的事件為
由題意，這兩套試驗方案在一次試驗中不成功的概率均為1－p.
所以，
， 從而，
令
（II）解：ξ的可取值為0，1，2.
所以ξ的分布列為
ξ
0
1
2
P
0.49
0.42
0.09
ξ的數學期望
19．（Ⅰ）取DC的中點E.
∵ABCD是邊長為
的菱形,
，∴BE⊥CD.
∵
平面
, BE
平面，∴ BE.
∴BE⊥平面PDC.∠BPE為求直線PB與平面PDC所成的角.
∵BE=
，PE=
,∴
=
=
.
（Ⅱ）連接AC、BD交于點O，因為ABCD是菱形，所以AO⊥BD.
∵平面, AO平面，
∴
PD. ∴AO⊥平面PDB.
作OF⊥PB于F，連接AF，則AF⊥PB.
故∠AFO就是二面角A－PB－D的平面角.
∵AO=，OF=
，∴
=
.
20．解: （Ⅰ）
在
恒成立,
所以
,
.
又
在
恒成立,
所以 
,
.
從而有
.
故
,
.
（Ⅱ）令
,
則
所以
在
上是減函數,在
上是增函數,
從而當
時,
.
所以方程
在
只有一個解
.
21．證明：由
是關于x的方程
的兩根得
。
，
是等差數列。
（2）由（1）知
。
。
又
符合上式，
。
（3）
①
②
①―②得 
。
。
22．解：（1）由題意
（2）由（1）知：
（x>0）
令h(x)=px2－2x+p.要使g(x)在（0，+∞）為增函數，只需h(x)在（0，+∞）滿足：h(x)≥0恒成立。即px2－2x+p≥0。
上恒成立
又
所以
（3）證明：①即證 lnx－x+1≤0 (x>0)，
設
.
當x∈（0，1）時，k′(x)>0，∴k(x)為單調遞增函數；
當x∈（1，∞）時，k′(x)<0，∴k(x)為單調遞減函數；
∴x=1為k(x)的極大值點，
∴k(x)≤k(1)=0.
即lnx－x+1≤0，∴lnx≤x－1.
②由①知lnx≤x－1,又x>0，
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