將兩塊全等的三角板如圖1擺放，其中∠A₁CB₁=∠ACB=90°，∠A₁=∠A=30°．
（1）將圖1中△A₁B₁C繞點C順時針旋轉45°得圖2，點P₁是A₁C與AB的交點，點Q是A₁B₁與BC的交點，求證：CP₁=CQ；
（2）在圖2中，若AP₁=a，則CQ等于多少？
（3）將圖2中△A₁B₁C繞點C順時針旋轉到△A₂B₂C（如圖3），點P₂是A₂C與AP₁的交點．當旋轉角為多少度時，有△AP₁C∽△CP₁P₂？這時線段CP₁與P₁P₂之間存在一個怎樣的數量關系？．

將兩塊含30°角且大小相同的直角三角板如圖l擺放。  

（1）將圖l中△A₁B₁C繞點C順時針轉45°得到圖2，點P_l是A₁C與AB的交點，求證：

（2）將圖2中△A₁B₁C繞點C順時針旋轉30°到△A₂B₂C（如圖3），P₂是A₂C與AB的交點，線段CP₁與P₁P₂之間存在一個確定的等量關系，請你寫出這個等量關系式，并說明理由；

（3）將圖3中線段CP₁繞點C順時針旋轉60°到CP₃（如圖4）連結P₃P₂，求證：P₃P₂⊥AB。