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．(本小題滿分12分)
如圖, 在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AC＝3，BC＝4，AB=5，AA₁＝4，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，
（I）求證： AC ₁//平面CDB₁；
（II）求二面角C₁-AB-C的平面角的正切值。

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1.A　2.D　3.C　4.B　5.B　6.A　7.B　8.C　9.A　10.C　11.C　12.D

13.(1－a)　14.2　15.　16.

17.解：(1)∵p，q共線，

∴(2－2sin A)(1＋sin A)＝(cos A＋sin A)(sin A－cos A)，1分

∴sin²A＝.2分

∵cos Acos Bcos C＞0，∴A為銳角.3分

∴sin A＝，∴A＝.5分

(2)y＝2sin²B＋cos＝2sin²B＋cos6分

＝2sin²B＋cos(－2B)＝1－cos 2B＋cos 2B＋sin 2B8分

＝sin 2B－cos 2B＋1＝sin(2B－)＋1.10分

∵B∈(0，)，∴2B－∈(－，).11分

∴當(dāng)2B－＝時(shí)，即B＝時(shí)，y_max＝2.12分

18.解：(1)由題意可知ξ_甲～B(5，p₁)，

∴Dξ_甲＝5p₁(1－p₁)＝1分

⇒p－p₁＋＝03分

⇒p₁＝.4分

又?＝6，∴p₂＝.6分

(2)分兩類情況：①共擊中3次概率C()²()⁶?C()()＋C??C()²＝.9分

②共擊中4次概率C()²?C()²＝.11分

所求概率為＋＝.12分

19.解：(1)由函數(shù)f(x)＝－x⁴＋x³＋ax²－2x－2在區(qū)間[－1,1]上是單調(diào)遞減，在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞增，所以x＝1取得極小值.1分

∴f′(1)＝0，∴－1＋2＋2a－2＝0，3分

∴a＝.4分

(2)由(1)知f(x)＝－x⁴＋x³＋x²－2x－2，

∴f′(x)＝－x³＋2x²＋x－2.5分

令f′(x)＝0，得x＝－1，x＝1，x＝2.6分

∴函數(shù)f(x)有極大值f(－1)＝－，f(2)＝－，極小值f(1)＝－.8分

關(guān)于x的方程f(2^|x|－1)＝m(x≠0)有六個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，令2^|x|－1＝t(t＞0)，

即關(guān)于t的方程f(t)＝m在t∈(0，＋∞)上有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解.9分

在t∈(0，＋∞)上函數(shù)f(t)的圖象與直線y＝m的圖象在t∈(0，＋∞)上有三個(gè)不同的交點(diǎn)，而f(t)的圖象與f(x)的圖象一致.11分

又f(0)＝－2，由數(shù)形結(jié)合可知，－＜m＜－.12分

20.解：(1)延長(zhǎng)CG交AB于N，∵G是△ABC的重心，∴N是AB的中點(diǎn).1分

∵∠ACB＝90°，∴CN＝AB＝6，∴CG＝CN＝4.2分

作ME∥GC交DC于E，∴∠EMB是異面直線GC與BM所成的角或補(bǔ)角.3分

∵M(jìn)是DG的中點(diǎn)，ME＝GC＝2，

BE＝＝＝2.4分

過M作MH⊥GC于H，MH⊥平面ABC，∴MH＝2，

∴MB²＝MH²＋HB²＝4＋4＋36－2?2?6?cos 60°＝32，

∴cos∠EMB＝＝－.5分

∴異面直線GC與BM所成的角為arccos.6分

(2)＋＋＝－(＋＋)，

∵G是△ABC的重心，

∴＋＋＝3.7分

∴(＋＋)?＝－3?.8分

△DGC是等腰直角三角形，DG＝CD＝4.9分

設(shè)MG＝x，則MD＝4－x，

∴－3?＝－3||||cos 180°＝3?x?(4－x)10分

≤3()²＝24.11分

∴(＋＋)?的最大值是24.

(當(dāng)且僅當(dāng)M為GD的中點(diǎn)時(shí)取得).12分

(備注：以上各小題都可以通過建立空間直角坐標(biāo)系求解，建議參照給分)

21.解：(1)由|PF₁|－|PF₂|＝2＜|F₁F₂|知，

點(diǎn)P的軌跡S是以F₁、F₂為焦點(diǎn)的雙曲線右支.1分

由c＝2,2a＝2，∴b²＝3.2分

故軌跡S的方程為x²－＝1(x≥1).4分

(2)當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為y＝k(x－2)，P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)與雙曲線方程聯(lián)立消y得(k²－3)x²－4k²x＋4k²＋3＝0.

∴解得k²＞3.5分

∵?＝(x₁－m)(x₂－m)＋y₁y₂

＝(x₁－m)(x₂－m)＋k²(x₁－2)(x₂－2)

＝(k²＋1)x₁x₂－(2k²＋m)(x₁＋x₂)＋m²＋4k²

＝＋m².6分

∵M(jìn)P⊥MQ，∴?＝0，

故得3(1－m²)＋k²(m²－4m－5)＝0對(duì)任意的k²＞3恒成立，

∴解得m＝－1.7分

當(dāng)m＝－1時(shí)，MP⊥MQ，

當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，由P(2,3)，Q(2，－3)及M(－1,0)知結(jié)論也成立.

綜上，當(dāng)m＝－1時(shí)，MP⊥MQ.8分

(3)由(1)知，存在M(－1,0)使得MP⊥MQ，

∴∠AEP＝∠MEF＝∠BQF，∴△PAE～△FBE，

∴＝.9分

|AE|?|FB|＝|AP|?|BQ|＝?＝|PF₂|?|OF₂|，

|PF₂|＝ex₁－a＝2x₁－1，|PF₂|＝ex₂－a＝2x₂－1，

∴|AE||FB|＝(2x₁－1)(2x₂－1)10分

＝[4x₁x₂－2(x₁＋x₂)＋1]＝x₁x₂－＋

＝－＋＝＋＝＋＞.

當(dāng)斜率不存在時(shí)|AE|?|AF|＝，∴λ的最小值為.11分

此時(shí)，|PQ|＝6，|MF|＝3，S_△PMQ＝|MQ|?|PQ|＝9.12分

22.解：(1)由A_n＝(a_n－1)，A_n＋1＝(a_n＋1－1)，1分

∴a_n＋1＝(a_n＋1－a_n)，即＝3，2分

且a₁＝A₁＝(a₁－1)，

得a₁＝3.3分

∴數(shù)列{a_n}是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列.4分

通項(xiàng)公式為a_n＝3ⁿ.5分

(2)∵2ⁿln a_n＝2ⁿln 3ⁿ＝(nln 3)?2ⁿ

＝2nln 3?2^n－1＝2nln 3(1＋1)^n－16分

＝2nln 3(C＋C＋…＋C)7分

＝2nln 3(nC＋nC＋nC＋…＋nC)8分

＝2nln 3(C＋2C＋…＋kC＋…nC)9分

＝(2ln 3)C＋(2ln 3)?2C＋…＋(2ln 3)?kC＋…＋(2ln 3)?nC.12分

故存在等差數(shù)列{c_n}，c_n＝(2ln 3)?n對(duì)一切正整數(shù)n∈N^*，c₁C＋c₂C＋…＋c_nC＝2ⁿln a_n都成立.14分