題目列表(包括答案和解析)
在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝α，M是AC的中點，P是線段BM上的動點，將線段PA繞點P順時針旋轉2α得到線段PQ．
(1)若α＝60°且點P與點M重合(如下圖1)，線段CQ的延長線交射線BM于點D，請補全圖形，并寫出∠CDB的度數(shù)；
(2)在圖2中，點P不與點B，M重合，線段CQ的延長線與射線BM交于點D，猜想∠CDB的大小(用含α的代數(shù)式表示)，并加以證明；
(3)對于適當大小的α，當點P在線段BM上運動到某一位置(不與點B，M重合)時，能使得線段CQ的延長線與射線BM交于點D，且PQ＝QD，請直接寫出α的范圍．
數(shù)學探究課上李老師出了這樣一道題：“如圖，正三角形ABC中有一點P，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，試求∠APB的度數(shù)．”小明和小軍一起討論時發(fā)現(xiàn)了一種求∠APB度數(shù)的方法，下面是這種方法的一部分思路．請按照下列思路要求畫圖或判斷．
(1)在圖中畫出△APC繞A點順時針旋轉60°后的圖形△AP1B；
(2)試判斷△AP1P的形狀，并說明理由；
(3)試判斷△BP1P的形狀，并說明理由；
(4)由2，3兩問可知：∠APB＝________．
李老師看過后，夸獎了他們，同時提示他們試試以B點或C點為旋轉中點，對某個三角形進行適當?shù)匦D，看一看是否可以求出∠APB度數(shù)．你認為可以嗎？如果可以，給出一種具體的旋轉方法；如果不可以，請說明理由．
在課外小組活動時，小偉拿來一道題(原問題)和小熊、小強交流．
原問題：如圖1，已知△ABC，∠ACB＝90°，∠ABC＝45°，分別以AB、BC為邊向外作△ABD與△BCE，且DA＝DB，EB＝EC，∠ADB＝∠BEC＝90°，連接DE交AB于點F．探究線段DF與EF的數(shù)量關系．
小偉同學的思路是：過點D作DG⊥AB于G，構造全等三角形，通過推理使問
題得解．
小熊同學說：我做過一道類似的題目，不同的是∠ABC＝30°，∠ADB＝∠BEC＝60°．
小強同學經過合情推理，提出一個猜想，我們可以把問題推廣到一般情況．
請你參考小慧同學的思路，探究并解決這三位同學提出的問題：
(1)寫出原問題中DF與EF的數(shù)量關系；
(2)如圖2，若∠ABC＝30°，∠ADB＝∠BEC＝60°，原問題中的其他條件不變，你在(1)中得到的結論是否發(fā)生變化？請寫出你的猜想并加以證明；
(3)如圖3，若∠ADB＝∠BEC＝2∠ABC，原問題中的其他條件不變，你在(1)中得到的結論是否發(fā)生變化？請寫出你的猜想并加以證明．
某校九年級學習小組在探究學習過程中，用兩塊完全相同的且含60°角的直角三角板ABC與AFE按如圖(1)所示位置放置放置，現(xiàn)將Rt△AEF繞A點按逆時針方向旋轉角α(0°＜α＜90°)，如圖(2)，AE與BC交于點M，AC與EF交于點N，BC與EF交于點P．
(1)求證：AM＝AN；
(2)當旋轉角α＝30°時，四邊形ABPE是什么樣的特殊四邊形？并說明理由．
閱讀下列材料，按要求解答問題：
如圖2－1，在ΔABC中，∠A＝2∠B，且∠A＝60°．小明通過以下計算：由題意，∠B＝30°，∠C＝90°，c＝2b，a＝
b，得a2－b2＝(b)2－b2＝2b2＝b·c．即a2－b2＝ bc．
于是，小明猜測：對于任意的ΔABC，當∠A＝2∠B時，關系式a2－b2＝bc都成立．
（1）如圖2－2，請你用以上小明的方法，對等腰直角三角形進行驗證，判斷小明的猜測是否正確，并寫出驗證過程；
（2）如圖2－3，你認為小明的猜想是否正確，若認為正確，請你證明；否則，請說明理由；
（3）若一個三角形的三邊長恰為三個連續(xù)偶數(shù)，且∠A＝2∠B，請直接寫出這個三角形三邊的長，不必說明理由．
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