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(12分)設直線與橢圓相切。 （I）試將用表示出來； （Ⅱ）若經過動點可以向橢圓引兩條互相垂直的切線，為坐標原點，求證：為定值。

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已知橢圓C₁：（a＞b＞0）的右頂點為A（1，0），過C₁的焦點且垂直長軸的弦長為1。

（1）求橢圓C₁的方程；
（2）設點P在拋物線C₂：y=x²+h（h∈R）上，C₂在點P處的切線與C₁交于點M、N。當線段AP的中點與MN的中點的橫坐標相等時，求h的最小值。

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數學（文）

第I卷（共60分）

一、選擇題（每小題5分，共60分）

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

A

B

D

B

A

A

D

A

C

B

A

A

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空題（每小題4分，共16分）

13．     14．3        15．97       16．③

三、解答題（共74分）

17．（本小題滿分12分）

   （I）的內角和。

        ，

   （Ⅱ）

         當即時，取最大值

18．（本題滿分12分）

    記A：該夫婦生一個小孩是患病男孩，B：該夫婦生一個小孩是患病女孩：C：該夫婦生一個小孩是不患病男孩；D：該夫婦生一個小孩是不患病女孩，則

   （I）

   （Ⅱ）該夫婦所生的前兩個是患病男孩，后一個患病女孩的概率為，所以

19．（本題滿分12分）

解法一：（I）證明：連接，設，連接DE

     三棱柱是正三棱柱，且，

     四邊形是正方形，

     ∴E是的中點，又是的中點，

     ∴

     ∵平面平面，

     ∴平面

（Ⅱ）解：在平面內作于點，在面；內作于連接。

     ∵平面平面，∴平面，

     ∵是在平面上的射影，

     ∴是二面角的平面角

     設在正中，

     在中，在中，

     從而

     所以，二面角的平面角的余弦值為

解法二：建立空間直角坐標系，如圖，

（I）證明：連接設，連接，設

    則

    平面平面平面

（Ⅱ）解：∵

      設是平面的法向量，則，且

      故，取，得；

      同理，可求得平面的法向量是

      設二面角的大小為，則

      所以，二面角的平面角的余弦值為

20．（本題滿分12分）

   （I），依題意，，即

        解得

        令，得或列表可得：

1

+

0

―

0

+

遞增

極大

遞減

極小

遞增

        所以，是極大值；是極小值

  （Ⅱ）曲線方程為點不在曲線上，

        設切點為，則點的坐標滿足

        因，故切線的方程為

        注意到點在切線上，有

        化簡得，解得

21．（本題滿分12分）

  （I）將代入得，整理得

      由得，故

（Ⅱ）當兩條切線的斜率都存在而且不等于時，設其中一條的斜率為k，

      則另外一條的斜率為

      于是由上述結論可知橢圓斜率為k的切線方程為

          ①

      又橢圓斜率為的切線方程為

          ②

       由①得

       由②得

兩式相加得

      于是，所求P點坐標滿足因此，

      當一條切線的斜率不存在時，另一條切線的斜率必為0，此時顯然也有

      所以為定值。

22．（本題滿分14分）

 （I）由知

      當時，，化簡得

        ①

      以代替得

         ②

      兩式相減得

      則，其中

      所以，數列為等差數列

 （Ⅱ）由，結合（I）的結論知

       于是，

       所以，原不等式成立

其他解法參照以上評分標準評分

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