題目列表(包括答案和解析)
設M是由滿足下列條件的函數
構成的集合：“①方程
有實數根；②函數的導數
滿足
.”
（1）判斷函數
是否是集合M中的元素，并說明理由；
（2）集合M中的元素具有下面的性質：若的定義域為D，則對于任意
，都存在
，使得等式
成立”，試用這一性質證明：方程
只有一個實數根；
（3）設
是方程的實數根，求證：對于定義域中任意的
，當
，且
時，
.
設M是由滿足下列條件的函數
構成的集合：“①方程
有實數根；②函數的導數
滿足
.”
（I）判斷函數
是否是集合M中的元素，并說明理由；
（II）集合M中的元素具有下面的性質：若的定義域為D，則對于任意
[m，n]
D，都存在
[m，n]，使得等式
成立”，
試用這一性質證明：方程
只有一個實數根；
（III）設
是方程的實數根，求證：對于定義域中任意的
.
設M是由滿足下列條件的函數
構成的集合：“①方程
有實數
根；②函數
”[來源:學+科+網Z+X+X+K]
（I）判斷函數
是否是集合M中的元素，并說明理由；
（II）集合M中的元素具有下面的性質：若 的定義域為D，則對于任意
成立。試用這一性
質證明：方程只有一個實數根；
（III）對于M中的函數
的實數根，求證：對于定義
域中任意的
當
且
| x |
| 2 |
| sinx |
| 4 |
| 3x |
| 4 |
| x3 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 3x |
| 4 |
| x3 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
一、選擇題：
題號
答案
1、解析：
，N＝
，
即
．答案：．
2、解析：由題意得
，又
．
答案：．
3、解析：程序的運行結果是
．答案：．
4、解析：與直線
垂直的切線
的斜率必為4，而
，所以，切點為
．切線為
，即
，答案：．
5、解析：由一元二次方程有實根的條件
，而
，由幾何概率得有實根的概率為
．答案：．
6、解析：如果兩條平行直線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面，所以正確；如果兩個平面與同一條直線垂直，則這兩個平面平行，所以正確；
如果一個平面經過了另一個平面的一條垂線，則這兩個平面平行，所以也正確；
只有選項錯誤．答案：．
7、解析：由題意，得
，答案：．
8、解析：
的圖象先向左平移
，橫坐標變為原來的倍
．答案：．
二、填空題：
題號
答案
9、解析：若
，則
，解得
．
10、解析：由題意
．
11、解析：
12、解析：令
，則
，令
，則
，
令
，則
，令
，則
，
令
，則
，令
，則
，
…，所以
．
13、解析：
：
；則圓心坐標為
．
：
由點到直線的距離公式得圓心到直線的距離為
，所以要求的最短距離為
．
14、解析：由柯西不等式
，答案：．
15、解析：顯然
與
為相似三角形，又
，所以的面積等于
．
三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．
16、解: (Ⅰ)
, ……………………… 2分
∴
，………………………………………………… 4分
解得
．………………………………………………………………… 6分
(Ⅱ)由
,得：
, ……………………… 8分
∴
………………………………… 10分
∴
．…………………………………………………………… 12分
17、解：（1）
… 2分
則
的最小正周期
， …………………………………4分
且當
時單調遞增．
即
為的單調遞增區間（寫成開區間不扣分）．………6分
（2）當
時
，當
，即
時
．
所以
． …………………………9分
為的對稱軸． …………………12分
18、解：
（Ⅰ）解法一：“有放回摸兩次，顏色不同”指“先白再黑”或“先黑再白”，
記“有放回摸球兩次，兩球恰好顏色不同”為事件，………………………2分
∵“兩球恰好顏色不同”共
種可能，…………………………5分
∴
． ……………………………………………………7分
解法二：“有放回摸取”可看作獨立重復實驗， …………………………2分
∵每次摸出一球得白球的概率為
．………………………………5分
∴“有放回摸兩次，顏色不同”的概率為
． ……………………………7分
（Ⅱ）設摸得白球的個數為
，依題意得：
，
，
．…………10分
∴
，……………………………………12分
．……………………14分
19、(Ⅰ)證明: 連結
，
與交于點
，連結
.………………………1分
是菱形, ∴是的中點. ………………………………………2分
點
為
的中點, ∴
. …………………………………3分
平面
平面
, ∴
平面. ……………… 6分
(Ⅱ)解法一:
平面,
平面,∴ 
.
，∴
. …………………………… 7分
是菱形, ∴
.
，
∴
平面
. …………………………………………………………8分
作
，垂足為
，連接
，則
,
所以
為二面角
的平面角. ………………………………… 10分
,∴
，
.
在Rt△
中,
=
，…………………………… 12分
∴
.…………………………… 13分
∴二面角
的正切值是
. ………………………… 14分
解法二：如圖，以點為坐標原點，線段
的垂直平分線所在直線為
軸，
所在直線為
軸，
所在直線為
軸，建立空間直角坐標系，令
，……………2分
則
，
,
．
∴
． ……………4分
設平面
的一個法向量為
,
由
，得
，
令
，則
，∴
. …………………7分
平面,平面,
∴. ………………………………… 8分
，∴.
是菱形,∴.
，∴平面.…………………………… 9分
∴
是平面的一個法向量,
．………………… 10分
∴
，
∴
， …………………… 12分
∴
．…………………………………… 13分
∴二面角的正切值是. ……………………… 14分
20、解:圓
的方程為
,則其直徑長
,圓心為
,設的方程為
,即
,代入拋物線方程得:
,設
，
有
, ………………………………2分
則
. ……………………4分
故
…6分
, ………… 7分
因此
. ………………………………… 8分
據等差,
, …………… 10分
所以
，即
,
，…………… 12分
即：方程為
或
. …………………14分
21、解：
（1）因為
， …………………………2分
所以
，滿足條件
. …………………3分
又因為當
時，
，所以方程
有實數根
．
所以函數
是集合M中的元素． …………………………4分
（2）假設方程存在兩個實數根
），
則
，……………………………………5分
不妨設
，根據題意存在數
使得等式
成立， ………………………7分
因為
，所以
，與已知
矛盾，
所以方程只有一個實數根；………………………10分
（3）不妨設
，因為
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