題目列表(包括答案和解析)
方程
的實數解的個數為___________．
方程
的實數解的個數為___________．
的實數解的個數為 ．
的實數解的個數為 ．
的實數解的個數為 ．一．填空題：
1．
； 2．
；
3．
4．2；
5．
；
6. 
； 7．
； 8．3；
9．
； 10．
．
二．選擇題：11．B ； 12．C； 13．C．
三．解答題：
14．[解]（Ⅰ）方法一（綜合法）設線段
的中點為
，連接
，
則
為異面直線OC與
所成的角（或其補角） ………………………………..1分
由已知，可得
，
為直角三角形 ……………………………………………………………….1分
， ……………………………………………………………….4分
．
所以，異面直線OC與MD所成角的大小
． …………………………..1分
方法二(向量法)
以AB,AD,AO所在直線為
軸建立坐標系，
則
,
……………………………………………………2分
，
，
………………………………………………………………………………..1分
設異面直線OC與MD所成角為
，
．……………………………….. …………………………2分
OC與MD所成角的大小為
．…………………………………………………1分
（Ⅱ）方法一（綜合法）
作
于
， ……………………………………………………………………………1分
且
，
平面
平面
………………………………………………………………………………4分
所以，點
到平面的距離
…………………………………………………2分
方法二(向量法)
設平面的一個法向量
，
…………………………………………………………………2分
．
……………………………………………………………………………………….2分
設到平面的距離為
則
．……………………………………………………………………3分
15．[解]（Ⅰ）設“小明中一等獎”為事件
，“小輝中一等獎”為事件
，事件與事件相互獨立，他們倆都中一等獎，則
所以，購買兩張這種彩票都中一等獎的概率為
． ………………………………..4分
（Ⅱ）事件
的含義是“買這種彩票中獎”，或“買這種彩票中一等獎或中二等獎”…1分
顯然，事件A與事件B互斥，
所以，
………………………………..3分
故購買一張這種彩票能中獎的概率為
．……………………………………………………..1分
（Ⅲ）對應不中獎、中二等獎、中一等獎，
的分布列如下：
…………………………………………..………………………………………………….3分
購買一張這種彩票的期望收益為損失
元．…………………………………………………..3分
16．[解] （Ⅰ）由于
恒成立，所以函數
的定義域為
………………..2分
，
（1）當
時，函數
，函數的值域為
…………………………1分
（2）當
時，因為
，所以
，
，從而
，………………………………………………..3分
所以函數的值域為
． ……………………………………………………….1分
（Ⅱ）假設函數是奇函數，則，對于任意的
，有
成立，
即
當
時，函數是奇函數． …………………………………………………….2分
當時，函數是偶函數． ………………………………………………..2分
當，且
時，函數是非奇非偶函數． ………………………………….1分
對于任意的
，且
，
………………………………………..3分
所以，當時，函數是常函數 ………………………………………..1分
當時，函數是遞減函數． ………………………………………..1分
17．[解]（Ⅰ）由題意，
……………………………6分
（Ⅱ）解法1：由
且
知
，
，
，
，
因此，可猜測
（
） ………………………………………………………4分
將，
代入原式左端得
左端
即原式成立，故為數列的通項．……………………………………………………….3分
用數學歸納法證明得3分
解法2：由 ，
令
得
，且
即
，……… ……………………………………………………………..4分
所以
因此
，
，．．．，
將各式相乘得………………………………………………………………………………3分
（Ⅲ）設上表中每行的公比都為
，且
．因為
，
所以表中第1行至第9行共含有數列
的前63項，故
在表中第10行第三列，………2分
因此
．又
，所以
． …………………………………..3分
則
．
…………………………………………2分
18．[解]（Ⅰ）動點的軌跡是以
為原點，以3為半徑的球面 ……………………………1分
并設動點的坐標為
，動點滿足
．
則球面的方程為
． …………………………………………………4分
（Ⅱ）設動點
，則
所以
……………………………………………………………5分
整理得曲面
的方程：
（*） …………………………………………2分
若坐標系原點建在平面
上的點處，可得曲面的方程：
同樣得分．
（Ⅲ）（1）對稱性：由于點關于
平面的對稱點
、關于
平面的對稱點
均滿足方程（*），所以曲面關于平面與平面對稱． …………………2分
又由于點關于
軸的對稱點
滿足方程（*），所以曲面關于軸對稱．
（2）范圍：由于
，所以，
，即曲面在
平面上方． ………………2分
（3）頂點：令
，得
，即坐標原點在曲面上，
點是曲面的頂點． …2分
…………………………2分
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