題目列表(包括答案和解析)
將數列{an} 中的所有項按第一排三項，以下每一行比上一行多一項的規則排成如數表：記表中的第一列數a1，a4，a8，…構成的數列為{bn}，已知：
．請解答以下問題：
在
上有解，求正整數k的取值范圍．a1
a2 a3
a4 a5 a6
a7 a8 a9 a10記表中的第一列數a1,a2,a4,a7,…構成的數列為{bn}，b1=a1=1,Sn為數列{bn}的前n項和，且滿足
＝1（n≥2）.
(Ⅰ)證明數列
成等差數列，并求數列{bn}的通項公式；
(Ⅱ)上表中，若從第三行起，每一行中的數按從左到右的順序均構成等比數列，且公比為同一個正數，當
時，求上表中第k(k≥3)行所有項的和.
將正數數列
中的所有項按每一行比上一行多一項的規則排成數表，如圖所示。記表中各行的第一個數
構成數列為
，各行的最后一個數
構成數列為
，第
行所有數的和為
。已知數列是公差為
的等差數列，從第二行起，每一行中的數按照從左到右的順序每一個數與它前面一個數的比是常數
，且
.
（1）求數列
的通項公式。
（2）求數列
的前項和
的表達式.
將正數數列
中的所有項按每一行比上一行多一項的規則排成數表，如圖所示。記表中各行的第一個數
構成數列為
，各行的最后一個數
構成數列為
，第
行所有數的和為
。已知數列是公差為
的等差數列，從第二行起，每一行中的數按照從左到右的順序每一個數與它前面一個數的比是常數
，且
.
（1）求數列
的通項公式。
（2）求數列
的前項和
的表達式.
將正數數列
中的所有項按每一行比上一行多一項的規則排成數表，如圖所示。記表中各行的第一個數
構成數列為
，各行的最后一個數
構成數列為
，第
行所有數的和為
。已知數列是公差為
的等差數列，從第二行起，每一行中的數按照從左到右的順序每一個數與它前面一個數的比是常數
，且
.
（1）求數列
的通項公式。
（2）（理科）記
，
求證：
。
一．填空題：
1．
； 2．
；
3．
4．2；
5．
；
6. 
； 7．
； 8．3；
9．
； 10．
．
二．選擇題：11．B ； 12．C； 13．C．
三．解答題：
14．[解]（Ⅰ）方法一（綜合法）設線段
的中點為
，連接
，
則
為異面直線OC與
所成的角（或其補角） ………………………………..1分
由已知，可得
，
為直角三角形 ……………………………………………………………….1分
， ……………………………………………………………….4分
．
所以，異面直線OC與MD所成角的大小
． …………………………..1分
方法二(向量法)
以AB,AD,AO所在直線為
軸建立坐標系，
則
,
……………………………………………………2分
，
，
………………………………………………………………………………..1分
設異面直線OC與MD所成角為
，
．……………………………….. …………………………2分
OC與MD所成角的大小為
．…………………………………………………1分
（Ⅱ）方法一（綜合法）
作
于
， ……………………………………………………………………………1分
且
，
平面
平面
………………………………………………………………………………4分
所以，點
到平面的距離
…………………………………………………2分
方法二(向量法)
設平面的一個法向量
，
…………………………………………………………………2分
．
……………………………………………………………………………………….2分
設到平面的距離為
則
．……………………………………………………………………3分
15．[解]（Ⅰ）設“小明中一等獎”為事件
，“小輝中一等獎”為事件
，事件與事件相互獨立，他們倆都中一等獎，則
所以，購買兩張這種彩票都中一等獎的概率為
． ………………………………..4分
（Ⅱ）事件
的含義是“買這種彩票中獎”，或“買這種彩票中一等獎或中二等獎”…1分
顯然，事件A與事件B互斥，
所以，
………………………………..3分
故購買一張這種彩票能中獎的概率為
．……………………………………………………..1分
（Ⅲ）對應不中獎、中二等獎、中一等獎，
的分布列如下：
…………………………………………..………………………………………………….3分
購買一張這種彩票的期望收益為損失
元．…………………………………………………..3分
16．[解] （Ⅰ）由于
恒成立，所以函數
的定義域為
………………..2分
，
（1）當
時，函數
，函數的值域為
…………………………1分
（2）當
時，因為
，所以
，
，從而
，………………………………………………..3分
所以函數的值域為
． ……………………………………………………….1分
（Ⅱ）假設函數是奇函數，則，對于任意的
，有
成立，
即
當
時，函數是奇函數． …………………………………………………….2分
當時，函數是偶函數． ………………………………………………..2分
當，且
時，函數是非奇非偶函數． ………………………………….1分
對于任意的
，且
，
………………………………………..3分
所以，當時，函數是常函數 ………………………………………..1分
當時，函數是遞減函數． ………………………………………..1分
17．[解]（Ⅰ）由題意，
……………………………6分
（Ⅱ）解法1：由
且
知
，
，
，
，
因此，可猜測
（
） ………………………………………………………4分
將，
代入原式左端得
左端
即原式成立，故為數列的通項．……………………………………………………….3分
用數學歸納法證明得3分
解法2：由 ，
令
得
，且
即
，……… ……………………………………………………………..4分
所以
因此
，
，．．．，
將各式相乘得………………………………………………………………………………3分
（Ⅲ）設上表中每行的公比都為
，且
．因為
，
所以表中第1行至第9行共含有數列
的前63項，故
在表中第10行第三列，………2分
因此
．又
，所以
． …………………………………..3分
則
．
…………………………………………2分
18．[解]（Ⅰ）動點的軌跡是以
為原點，以3為半徑的球面 ……………………………1分
并設動點的坐標為
，動點滿足
．
則球面的方程為
． …………………………………………………4分
（Ⅱ）設動點
，則
所以
……………………………………………………………5分
整理得曲面
的方程：
（*） …………………………………………2分
若坐標系原點建在平面
上的點處，可得曲面的方程：
同樣得分．
（Ⅲ）（1）對稱性：由于點關于
平面的對稱點
、關于
平面的對稱點
均滿足方程（*），所以曲面關于平面與平面對稱． …………………2分
又由于點關于
軸的對稱點
滿足方程（*），所以曲面關于軸對稱．
（2）范圍：由于
，所以，
，即曲面在
平面上方． ………………2分
（3）頂點：令
，得
，即坐標原點在曲面上，
點是曲面的頂點． …2分
…………………………2分
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