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403.求證：在已知二面角，從二面角的棱出發的一個半平面內的任意一點，到二面角兩個面的距離的比是一個常數.

已知：二面角α-ED-β，平面過ED，A∈，AB⊥α，垂足是B.AC⊥β，垂足是C.

求證：AB∶AC＝k(k為常數)

證明：過AB、AC的平面與棱DE交于點F，連結AF、BF、CF.

∵AB⊥α，AC⊥β.∴AB⊥DE，AC⊥DE.

∴DE⊥平面ABC.∴BF⊥DE，AF⊥DE，CF⊥DE.

∠BFA，∠AFC分別為二面角α-DE-，-DE-β的平面角，它們為定值.

在RtΔABF中，AB＝AF·sin∠AFB.

在RtΔAFC中，AC＝AF·sin∠AFC，得：

＝＝定值.

402.自二面角內一點分別向兩個面引垂線，求證：它們所成的角與二面角的平面角互補.

已知：從二面角α-AB-β內一點P，向面α和β分別引垂線PC和PD，它們的垂足是C和D.求證：∠CPD和二面角的平面角互補.

證：設過PC和PD的平面PCD與棱AB交于點E，

∵PC⊥α，PD⊥β

∴PC⊥AB，PD⊥AB

∴CE⊥AB，DE⊥AB

又∵CEα，DEβ，∴∠CED是二面角α-AB-β的平面角.

在四邊形PCED內：∠C＝90°，∠D＝90°

∴∠CPD和二面角α-AB-β的平面∠CBD互補.

401.　 如圖，在ΔABC中，∠ACB＝90°，BC＝a,AC＝b,D是斜邊AB上的點，以CD為棱把它折成直二面角A-CD-B后，D在怎樣的位置時，AB為最小，最小值是多少?

解析： 設∠ACD＝θ，則∠BCD＝90°-θ，作AM⊥CD于M，BN⊥CD于N，于是AM＝bsinθ,CN＝asinθ.

∴MN＝｜asinθ-bcosθ｜，因為A-CD-B是直二面角，AM⊥CD，BN⊥CD，∴AM與BN成90°的角，于是AB＝＝≥.

∴當θ＝45°即CD是∠ACB的平分線時，AB有最小值，最小值為.

400. 斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面△ABC中，AB=AC=10，BC=12，A₁到A、B、C三點的距離都相等，且AA1=13，求斜三棱柱的側面積。

解析：∵A₁A=A₁B=A₁C

∴ 點A₁在平面ABC上的射影為△ABC的外心，在∠BAC平分線AD上

∵ AB=AC

∴ AD⊥BC

∵ AD為A₁A在平面ABC上的射影

∴ BC⊥AA₁

∴ BC⊥BB₁

∴ BB₁C₁C為矩形，S=BB₁×BC=156

取AB中點E，連A₁E

∵ A₁A=A₁B

∴ A₁E⊥AB

∴

∴

∴ S_側=396

399. 四棱錐V-ABCD底面是邊長為4的菱形，∠BAD=120⁰，VA⊥底面ABCD，VA=3，AC與BD交于O，(1)求點V到CD的距離；(2)求點V到BD的距離；(3)作OF⊥VC，垂足為F，證明OF是BD與VC的公垂線段；(4)求異面直線BD與VC間的距離。

解析：用三垂線定理作點到線的垂線

在平面ABCD內作AE⊥CD，E為垂足

∵ VA⊥平面ABCD

∴ AE為VE在平面ABCD上的射影

∴ VE⊥CD

∴ 線段VE長為點V到直線CD的距離

∵ ∠BAD=120⁰

∴ ∠ADC=60⁰

∴ △ACD為正三角形

∴ E為CD中點，AE=

∴ VE=

　 (2)∵ AO⊥BD

∴ 由三垂線定理VO⊥BD

∴ VO長度為V到直線BD距離

　 VO=

　 (3)只需證OF⊥BD

　　 ∵ BD⊥HC，BD⊥VA

　　 ∴ BD⊥平面VAC

　　 ∴ BD⊥OF

　　 ∴ OF為異面直線BD與VC的公垂線

　 (4)求出OF長度即可

在Rt△VAC中

OC=AC=2，VC=

∴ OF=OC·sin∠ACF=OC·

398. 平面α內有半徑為R的⊙O，過直徑AB的端點A作PA⊥α，PA=a，C是⊙O上一點，∠CAB=60⁰，求三棱錐P-OBC的側面積。

解析：三棱錐P-OBC的側面由△POB、△POC、△PBC三個三角形組成

在求出邊長元素后，求三角形面積時，應注意分析三角形的形狀，簡化計算

∵ PA⊥平面ABC

∴ PA⊥AO，AC為PC在平面ABC上的射影

∵ BC⊥AC

∴ BC⊥PC

△　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 POB中，

△　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 PBC中，BC=ABsin60⁰=2a

∴ AC=a

∴ PC=

∴

△　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 POC中，PO=PC=，OC=a

∴

∴ S_側=

397. 斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面是邊長為4cm的正三角形，側棱AA₁與底面兩邊AB、AC均成60⁰的角，AA₁=7

　 (1)求證：AA₁⊥BC；(2)求斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的全面積；(3)求斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積；(4)求AA₁到側面BB₁C₁C的距離。

解析：設A₁在平面ABC上的射影為0

∵ ∠A₁AB=∠A₁AC

∴ O在∠BAC的平行線AM上

∵ △ABC為正三角形

∴ AM⊥BC

又AM為A₁A在平面ABC上的射影

∴ A₁A⊥BC

　 (2)

∵ B₁B∥A₁A

∴ B₁B⊥BC，即側面BB₁C₁C為矩形

∴

又

∴ S_全=

　 (3)∵ cos∠A₁AB=cos∠A₁AO·cos∠OAB

∴ cos∠A₁AO=

∴ sin∠A₁AO=

∴ A₁O=A₁Asin∠A₁AO=

∴

　 (4)把線A₁A到側面BB₁C₁C的距離轉化為點A或A₁到平面BB₁C₁C的距離

為了找到A₁在側面BB₁C₁C上的射影，首先要找到側面BB₁C₁C的垂面

設平面AA₁M交側面BB₁C₁C于MM₁

∵ BC⊥AM，BC⊥A₁A

∴ BC⊥平面AA₁M₁M

∴ 平面AA₁M₁M⊥側面BCC₁B₁

在平行四邊形AA₁M₁M中

過A₁作A₁H⊥M₁M，H為垂足

則A₁H⊥側面BB₁C₁C

∴ 線段A₁H長度就是A₁A到側面BB₁C₁C的距離

∴

396. 正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面邊長為a，在側棱BB₁上截取BD=，在側棱CC₁上截取CE=a，過A、D、E作棱柱的截面ADE

　 (1)求△ADE的面積；(2)求證：平面ADE⊥平面ACC₁A₁。

解析：分別在三個側面內求出△ADE的邊長

AE=a，AD=a，DE=

∴ 截面ADE為等腰三角形

　 S=

　 (2)∵ 底面ABC⊥側面AA₁C₁C

∴ △ABC邊AC上的高BM⊥側面AA₁C₁C

下設法把BM平移到平面AED中去

取AE中點N，連MN、DN

∵ MNEC，BDEC

∴ MNBD

∴ DN∥BM

∴ DN⊥平面AA₁C₁C

∴ 平面ADE⊥平面AA₁C₁C

395. 已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90⁰，∠BAC=30⁰，BC=1，AA₁=，M為CC₁中點，求證：AB₁⊥A₁M。

解析：因結論是線線垂直，可考慮用三垂線定理或逆定理

∵ ∠ACB=90⁰

∴ ∠A₁C₁B₁=90⁰

即B₁C₁⊥C₁A₁

又由CC₁⊥平面A₁B₁C₁得：CC₁⊥B₁C₁

∴ B₁C₁⊥平面AA₁C₁C

∴ AC₁為AB₁在平面AA₁C₁C的射影

由三垂線定理，下證AC₁⊥A₁M即可

在矩形AA₁C₁C中，AC=A₁C₁=，AA₁=CC₁=

∵ ，

∴

∴ Rt△A₁C₁M∽Rt△AA₁C₁

∴ ∠1=∠2

又∠2+∠3=90⁰

∴ ∠1+∠3=90⁰_­

∴ AC₁⊥A₁M

∴ AB₁⊥A₁M

評注：利用三垂線定理的關鍵是找到基本面后找平面的垂線

394. 如右圖，斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁C₁⊥BC₁，AB⊥AC，AB=3，AC=2，側棱與底面成60°角。

(1)求證：AC⊥面ABC₁；

(2)求證：C₁點在平面ABC上的射影H在直線AB上；

(3)求此三棱柱體積的最小值。

解析：(1)由棱柱性質，可知A₁C₁//AC

　　　　　　 ∵A₁C₁BC₁，　

　　　　　　 ∴ACBC₁，又∵ACAB，∴AC平面ABC₁

　　　　 (2)由(1)知AC平面ABC₁，又AC平面ABC，∴平面ABC平面ABC₁

　　　　　　　 在平面ABC₁內，過C₁作C₁HAB于H，則C₁H平面ABC，故點C₁在平面ABC上

　　　　　　　 的射影H在直線AB上。

　　　　 (3)連結HC，由(2)知C₁H平面ABC，

　　　　　　　 ∴∠C₁CH就是側棱CC₁與底面所成的角，

　　　　　　　 ∴∠C₁CH=60°，C₁H=CH·tan60°=

　　　　　　　 V_棱柱=

　　　　　　　 ∵CAAB，∴CH，所以棱柱體積最小值3。