Question

【題目】兩個(gè)不等的自然數(shù)a和b,較大的數(shù)除以較小的數(shù),余數(shù)記為a☉b,比如5☉2=1,7☉25=4,6☉8=2. （8級）

(1)求1991☉2000,(5☉19)☉19,(19☉5)☉5;

(2)已知11☉x=2,而x小于20,求x;

(3)已知(19☉x)☉19=5,而x小于50,求x.

Answer 1

【答案】；；

(2) x=3,9,13.

(3) x=12,26,33,45.

【解析】(1)1991☉2000=9;

由5☉19=4,得(5☉19)☉19=4☉19=3;

由19☉5=4,得(19☉5)☉5=4☉5=1.

(2)我們不知道11和x哪個(gè)大(注意,x≠11),即哪個(gè)作除數(shù),哪個(gè)作被除數(shù),這樣就要分兩種情況討論.

1) x<11,這時(shí)x除11余2, x整除11-2=9.又x≥3(因?yàn)閤應(yīng)大于余數(shù)2),所以x=3或9.

2) x>11,這時(shí)11除x余2,這說明x是11的倍數(shù)加2,但x<20,所以x=11+2=13. 因此(2)的解為x=3,9,13.

(3)這個(gè)方程比(2)又要復(fù)雜一些,但我們可以用同樣的方法來解.

用y表示19☉x,不管19作除數(shù)還是被除數(shù),19☉x都比19小,所以y應(yīng)小于19.

方程y☉19=5,說明y除19余5,所以y整除19-5=14,由于y≥6,所以y=7,14.

當(dāng)y=7時(shí),分兩種情況解19☉x=7.

1) x<19,此時(shí)x除19余7,x整除19-7=12.由于x≥8,所以x=12.

2) x>19,此時(shí)19除x余7, x是19的倍數(shù)加7,由于x<50,所以x=19+7=26=45.

當(dāng)y=14時(shí),分兩種情況解19☉x=14.

1) x<19,這時(shí)x除19余14, x整除19-14=5,但x大于14,這是不可能的.

2)x>19,此時(shí)19除x余14,這就表明x是19的倍數(shù)加14,因?yàn)閤<50,所以x=19+14=33.

總之,方程(19☉x)☉19=5有四個(gè)解, x=12,26,33,45.