Question

【題目】如圖，凸四邊形ABCD的邊AD和BC的延長線相交于點E，H和G分別是BD和AC的中點．求：△EHG的面積與四邊形ABCD的面積之比．

Answer 1

【答案】1：4．

【解析】

試題分析：要求S△EHG和四邊形ABCD的比例關系，首先要將S△EHG和四邊形ABCD分別與與之有關聯的圖形進行轉換，通過觀察發現：S△GHC=S△AGH，S△DGC=S△ADG，于是求得S△GHC+S△DGC之和即四邊形DGHC的面積為四邊形AHCD的一半．同理可求得四邊形AHCD的面積為四邊形ABCD的一半，于是得出四邊形ABCD的面積為四邊形GHCD的4倍．

然后求出S△GHE與S四邊形GHCD的關系即可．

解：如圖所示：；

連接DG、HC、AH，設DC與GE交于M，DC與EH交于N，設△ENC=S1，S△EMN=S2，S△DME=S3，S△HNC=S4，S△DGM=S5．

因：S△EHB=S△DHE，故：S1+S4+S△BHC=S2+S3+S△DHN…1

又因：S△DHC=S△BHC，故：S△DHN+S4=S△BHC…2

將2代入1得出：S1+S4+S4+S△DHN=S2+S3+S△DHN 簡化得出：2S4=S2+S3﹣S1…3

同理：S△AGE=S△EGC，故：S△GMC+S1+S2=S3+S5+S△ADG…4

S△ADG=S△DGC，故：S△GMC+S5=S△ADG…5

將5代入4，得出：S△GMC+S1+S2=S3+S5+S△GMC+S5，簡化得出：2S5=S1+S2﹣S3…6

將得式3與得式6相加，得出：S4+S5=S2，故：S△GHE=S四邊形GHCD…7

又因：S△GHC=S△AGH，S△DGC=S△ADG，故：S四邊形DGHC的=1/2 S四邊形AHCD，同理可求得S四邊形AHCD= S四邊形ABCD，于是得出：S四邊形ABCD=4 S四邊形GHCD…8

故 S△EHG：S四邊形ABCD=1：4

答：△EHG的面積與四邊形ABCD的面積之比是1：4．