Question

【題目】已知函數.

（1）當時，求函數的極值；

（2）若函數有兩個零點，求的取值范圍，并證明.

Answer 1

【答案】（1）當時， 在處取得的極大值；函數無極小值. （2）證明見解析

【解析】試題分析：（1）求出，令求得 的范圍，可得函數增區間，令求得 的范圍，可得函數的減區間，從而可得函數的極值；（2）對進行討論： ， ， ， ，針對以上四種情況，分別利用導數研究函數的單調性，利用單調性討論函數有兩個零點情況，排除不是兩個零點的情況，可得有兩個零點時， 的取值范圍是，由（1）知在單調遞減，故只需證明即可，又，只需利用導數證明即可.

試題解析：（1）由得，

當時， ，若；若 ，

故當時， 在處取得的極大值；函數無極小值.

（2）當時，由（1）知在處取得極大值，且當趨向于時， 趨向于負無窮大，又有兩個零點，則，解得.

當時，若；若；若，則在處取得極大值，在處取得極小值，由于，則僅有一個零點.

當時， ，則僅有一個零點.

當時，若；若；若，則在處取得極小值，在處取得極大值，由于，則僅有一個零點.

綜上， 有兩個零點時， 的取值范圍是.

兩零點分別在區間和內，不妨設.

欲證，需證明，

又由（1）知在單調遞減，故只需證明即可.

，

又，

所以，

令，則，

則在上單調遞減，所以，即，

所以.