Question

【題目】如圖，有4個動點P、Q、E、F分別從正方形ABCD的4個頂點出發．沿著AB、BC、CD、DA以同樣的速度向B、C、D、A各點移動．

【1】四邊形PQEF的形狀是_____；

【2】PE是否總是經過某一定點，如果經過某一定點，請通過作圖標出來如果不經過某一定點，請說明理由；

【3】四邊形PQEF的頂點位于何處時，其面積最小、最大？各是多少？

Answer 1

【答案】

【1】 正方形

【2】

對角線PE總過AC的中點

【3】 正方形ABCD與正方形PQEF的對角線交點是重合的，

當OP⊥AB時，四邊形PQEF面積最小，為原正方形面積的一半，此時S正方形PFEQ=S正方形ABCD．

當P與頂點B重合時，面積最大，S正方形PQEF=S正方形ABCD．

【解析】

1.因為速度相同，所以四邊形PQEF外面的四個三角形是相同的，從而四邊形PQEF的四條邊相等，同時也可以求得這個四邊形的四個角都是直角，所以這個四邊形是正方形．

2.大正方形對角線相交于中心點，小正方形的對角線也相交于中心點，這兩個中心點重合．

3.小正方形與大正方形重合的時候面積最大，PE與AB垂直的時候面積最小．

【1】正方形；

【2】連接AC交PE于O，

∵AP平行且等于EC，

∴四邊形APCE為平行四邊形．

∵O為對角線AC的中點，

∴對角線PE總過AC的中點．

【3】正方形ABCD與正方形PQEF的對角線交點是重合的，

當OP⊥AB時，四邊形PQEF面積最小，為原正方形面積的一半，此時S正方形PFEQ=S正方形ABCD．

當P與頂點B重合時，面積最大，S正方形PQEF=S正方形ABCD．

故答案為：正方形．

本題考查了四邊形的綜合題，在證明過程中，應用了正方形的性質和平行四邊形的判定定理，為使問題簡單化，在證明過程中，可適當加入輔助線，此題難度一般．