Question

【題目】在9×9棋盤的每格中都有一只甲蟲，根據(jù)信號(hào)它們同時(shí)沿著對(duì)角線各自爬到與原來(lái)所在格恰有一個(gè)公共頂點(diǎn)的鄰格中，這樣某些格中有若干只甲蟲，而另一些格則空著．問(wèn)空格數(shù)最少是多少?

Answer 1

【答案】9個(gè)

【解析】方法一：考慮到甲蟲總是斜著爬，我們把棋盤黑白相間染色，發(fā)現(xiàn)原來(lái)黑色格子里的甲蟲都會(huì)爬到黑色的格子里面，而白色格子里面的甲蟲都會(huì)爬到白色格子里面，所以我們只用觀察最少能空出多少個(gè)黑格子，多少個(gè)白格子．

因?yàn)榧紫x每次都從奇數(shù)行爬到偶數(shù)行，偶數(shù)行爬到奇數(shù)行，而由奇數(shù)行有25個(gè)黑格子，偶數(shù)行有16個(gè)黑格子知，偶數(shù)行的16只甲蟲爬到奇數(shù)行會(huì)空出9個(gè)黑格子，而奇數(shù)行的25只蟲子爬到偶數(shù)行就可以沒(méi)有空格．白格子蟲子也會(huì)從奇數(shù)行爬到偶數(shù)行，偶數(shù)行爬到奇數(shù)行，但是奇數(shù)行和偶數(shù)行都是20個(gè)格子，最少的情況下不會(huì)出現(xiàn)空格子，所以最少出現(xiàn)9個(gè)空格．

方法二：

①對(duì)2×2棋盤如下黑白染色，則易知兩黑格及兩白格分別對(duì)換甲蟲即可使棋盤格不空；從而得到2n×2n棋盤可劃分為若干塊2×2棋盤，棋盤格均不空．

②對(duì)3×3棋盤如下黑白染色，注意到圖中有5個(gè)黑格，黑格中的甲蟲爬行后必進(jìn)入黑格，且四個(gè)角上的黑格內(nèi)的甲蟲必爬人中心黑格，而中心黑格內(nèi)的甲蟲只能爬人某一格，必至少空3個(gè)黑格．

③對(duì)5×5棋盤黑白染色后，利用①、②的結(jié)論易知至少空5個(gè)黑格．

④依次類推，可知對(duì)9×9棋盤黑白染色后，至少空9個(gè)空格．下圖是甲蟲爬行的一種方法．