Question

【題目】已知的實常數，函數.

（1）討論函數的單調性；

（2）若函數有兩個不同的零點，

（ⅰ）求實數的取值范圍；

（ⅱ）證明： .

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】試題分析：（1）對函數求導得，對實常數分情況討論，由 的正負得出函數的單調性；（2）（ⅰ）由（1）的討論，得出，再根據極小值為負數，得出的范圍；（ⅱ）由，得，即，令，對求導，得出單調性，要證，只需證就可得出結論，構造， ，求導得出單調性轉化求解即可。

試題解析：（1）.

當時， ，函數在上單調遞增；

當時，由，得.

若，則，函數在上單調遞增；

若，則，函數在上單調遞減.

（2）（ⅰ）由（1）知，當時， 單調遞增，沒有兩個不同的零點.

當時， 在處取得極小值.

由，得.

所以的取值范圍為.

（ⅱ）由，得，即.

所以.

令，則.

當時， ；當時， .

所以在遞減，在遞增，所以.

要證，只需證.

因為在遞增，所以只需證.

因為，只需證，即證.

令， ，則.

因為，所以，即在上單調遞減.

所以，即，

所以成立.