Question

【題目】2016 年崇明區政府投資 8 千萬元啟動休閑體育新鄉村旅游項目．規劃從 2017 年起，在今后的若干年內，每年繼續投資 2 千萬元用于此項目.2016 年該項目的凈收入為 5 百萬元，并預測在相當長的年份里，每年的凈收入均為上一年的基礎上增長．記 2016 年為第 1 年， 為第 1 年至此后第 年的累計利潤（注：含第 年，累計利潤=累計凈收入﹣累計投入，單位：千萬元），且當 為正值時，認為該項目贏利．

（1）試求 的表達式；

（2）根據預測，該項目將從哪一年開始并持續贏利？請說明理由．

Answer 1

【答案】(1) ；（2）.

【解析】試題分析：（1）由題意知，第一年至此后第年的累計投入為（千萬元），第年至此后第年的累計凈收入為，利用等比數列數列的求和公式可得；（2）由，利用指數函數的單調性即可得出.

試題解析：（1）由題意知，第1年至此后第n（n∈N*）年的累計投入為8+2（n﹣1）=2n+6（千萬元），

第1年至此后第n（n∈N*）年的累計凈收入為+×+×+…+×

=（千萬元）．

∴f（n）=﹣（2n+6）=﹣2n﹣7（千萬元）．

（2）方法一：∵f（n+1）﹣f（n）=[﹣2（n+1）﹣7]﹣[﹣2n﹣7]=[﹣4]，

∴當n≤3時，f（n+1）﹣f（n）＜0，故當n≤4時，f（n）遞減；

當n≥4時，f（n+1）﹣f（n）＞0，故當n≥4時，f（n）遞增．

又f（1）=﹣＜0，f（7）=≈5×﹣21=﹣＜0，f（8）=﹣23≈25﹣23=2＞0．

∴該項目將從第8年開始并持續贏利．

答：該項目將從2023年開始并持續贏利；

方法二：設f（x）=﹣2x﹣7（x≥1），則f′（x）=，

令f'（x）=0，得=≈=5，∴x≈4．

從而當x∈[1，4）時，f'（x）＜0，f（x）遞減；

當x∈（4，+∞）時，f'（x）＞0，f（x）遞增．

又f（1）=﹣＜0，f（7）=≈5×﹣21=﹣＜0，f（8）=﹣23≈25﹣23=2＞0．

∴該項目將從第8年開始并持續贏利．

答：該項目將從2023年開始并持續贏利．