Question

【題目】底面為菱形的直棱柱

中，

分別為棱

的中點(diǎn).

（1）在圖中作一個(gè)平面

，使得

，且平面

.（不必給出證明過(guò)程，只要求作出

與直棱柱

的截面）.

（2）若

，求平面

與平面

的距離

.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析;（2）

.

【解析】試題分析：（1）作面面平行，實(shí)質(zhì)作線線平行，而線線平行的尋找往往利用平幾知識(shí)，如三角形中位線、平行四邊形性質(zhì)等，本題中已有

,根據(jù)對(duì)稱性在平面

中尋找另一組平行線，（2）利用向量投影可求兩平面之間距離，先根據(jù)條件建立恰當(dāng)直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo)，解方程組得平面

的法向量

，利用向量數(shù)量積求向量

在

方向上投影的絕對(duì)值，即為平面

與平面

的距離

.

試題解析：

（1）如圖，取

的中點(diǎn)

，連接

，則平面

即為所求平面

.

（2）如圖，連接

交

于

，

∵在直棱柱

中，底面為菱形，

∴

，

∴分別以

為

軸，

為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

又∵所有棱長(zhǎng)為2，

，

∴

，

，

，

∴

，

∴

，

，

設(shè)

是平面

的一個(gè)法向量，則

，即

，

令

得

，

，

∴點(diǎn)

到平面

的距離

，

∴平面

與平面

的距離

.