Question

如圖，正方形ABCD中，在AD的延長線上取點E，F，使DE=AD，DF=BD，連接BF分別交CD，CE于H，G．下列結論：①EC=2DG；②∠GDH=∠GHD；③S_△CDG=S_{四邊形DHGE}；④圖中有8個等腰三角形．其中正確的共有（　　）

• A、1個
• B、2個
• C、3個
• D、4個

Answer 1

分析：根據正方形的性質和已知推出四邊形DECB是平行四邊形，得到BD=CE，BD∥CE，無法證出G為CE的中點；得到BD∥CE，推出∠DCG=∠BDC=45°，求出∠BGC=∠GBC，得到BC=CG=CD，
求出∠CDG=∠DHG，即可；根據三角形的面積公式推出△CDG和四邊形DHGE的面積相等；等腰三角形有△ABD，△CDB，△BDF，△CDE，△BCG，△DGH，△EGF，△DFG，△CDG．

解答：解：∵正方形ABCD，DE=AD，
∴AD∥BC，DE=BC，∠EDC=90°，
∴四邊形DECB是平行四邊形，
∴BD=CE，BD∥CE，
∵DE=BC=AD，
∴∠DCE=∠DEC=45°，
要使CE=2DG，只要G為CE的中點即可，
但DE=DC，DF=BD，
∴EF≠BC，
即△EFG和△BCG不全等，
∴G不是CE中點，∴①錯誤；
∵∠ADB=45°，DF=BD，
∴∠F=∠DBH=

1

2

∠ADB=22.5°，
∴∠DHG=180°-90°-22.5°=67.5°，
∵BD∥CE，
∴∠DCG=∠BDC=45°，
∵∠DHG=67.5°，
∴∠HGC=22.5°，∠DEC=45°，
∵∠BGC=180°-22.5°-135°=22.5°=∠GBC，
∴BC=CG=CD，
∴∠CDG=∠CGD=

1

2

（180°-45°）=67.5°=∠DHG，∴②正確；
因為CG=DE=CD，∠DCE=∠DEC=45，∠HGC=22.5°，∠DGE=90-∠CDG=90-67.5=22.5°，
∴△DEG≌△CHG，
要使△CDG和四邊形DHGE的面積相等，只要△DEG和△CHG的面積相等即可，根據已知條件△DEG≌△CHG，
∴③S_△CDG=S_{四邊形DHGE}；正確，
等腰三角形有△ABD，△CDB，△BDF，△CDE，△BCG，△DGH，△EGF，△CDG，△DGF∴④錯誤；
故選B．

點評：本題主要考查對三角形的內角和定理，等腰三角形的性質和判定，正方形的性質，平行四邊形的性質和判定等知識點的理解和掌握，綜合運用這些性質進行推理是解此題的關鍵．