Question

【題目】如圖，拋物線與軸交于A，B兩點（點A在點B的左側），直線與拋物線交于兩點，其中點的橫坐標為2．

（1）求A，B兩點的坐標及直線AC的表達式；

（2）P是線段AC上一動點（P與A，C不重合），過點P作軸的平行線交拋物線于點E，求面積的最大值；

（3）點H是拋物線上一動點，在軸上是否存在點F，使得四個點為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在請直接寫出所有滿足條件的點F坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）A(1，0)，B(3，0)，；（2）面積的最大值為；（3）存在，，．

【解析】

（1）令拋物線y=x2-2x-3=0，求出x的值，即可求A，B兩點的坐標，根據兩點式求出直線AC的函數表達式；
（2）設P點的橫坐標為x（-1≤x≤2），求出P、E的坐標，用x表示出線段PE的長，求出PE的最大值，進而求出△ACE的面積最大值；
（3）結合圖形，分兩類進行討論，①CF平行x軸，如圖1，此時可以求出F點兩個坐標；②CF不平行x軸，如題中的圖2，此時可以求出F點的兩個坐標．

（1）令y=0，解得x1=-1或x2=3，
∴A（-1，0），B（3，0）；
將C點的橫坐標x=2代入y=x2-2x-3得y=-3，
∴C（2，-3），

設直線AC的解析式為：y=kx+b，

把A（-1，0），C（2，-3）代入直線解析式得，

解得，

∴直線AC的函數解析式是y=-x-1，
（2）設P點的橫坐標為x（-1≤x≤2），
則P、E的坐標分別為：P（x，-x-1），E（x，x2-2x-3），
∵P點在E點的上方，PE=（-x-1）-（x2-2x-3）=-x2+x+2=-（x-）2+，
∴當x=時，PE的最大值=，
△ACE的面積最大值=PE[2-（-1）]= PE=，
（3）存在，如圖1，若AF∥CH，此時的D和H點重合，CD=2，則AF=2，

于是可得F1（1，0），F2（-3，0），
如圖2，根據點A和F的坐標中點和點C和點H的坐標中點相同，

再根據

求出

綜上所述滿足條件的點F的坐標為，．