Question

在四邊形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，點P是在線段BC上任意一點（與點B不重合），∠BPE＝∠BCA，PE交BO于點E，過點B作BF⊥PE，垂足為F，交AC于點G．
      
⑴ 若ABCD為正方形，
① 如圖⑴，當點P與點C重合時．△BOG是否可由△POE通過某種圖形變換得到？證明你的結論；
② 結合圖⑵求的值；
⑵ 如圖⑶，若ABCD為菱形，記∠BCA＝，請探究并直接寫出的值．（用含的式子表示）

Answer 1

（1）①△BOG可由△POE繞點O順時針旋轉90°得到
②＝  （2）＝tanα

試題分析：⑴ 解：△BOG可由△POE繞點O順時針旋轉90°得到．
 
證明：如圖，∵四邊形ABCD是正方形，P與C重合，
∴OB=OP，∠BOC=∠BOG=90°．
∵PF⊥BG，∠PFB=90°，
∴∠GBO=90°－∠BGO，
∠EPO=90°－∠BGO，
∴∠GBO=∠EPO，∴△BOG≌△POE．
∴OE=OG，
又∵∠EOG=90°，
∴將線段OE繞點O順時針旋轉90°就得到OG．
又∵OB=OP，∠POB=90°，
∴將線段OP繞點O順時針旋轉90°就得到OB．
∴△BOG可由△POE繞點O順時針旋轉90°得到．
⑵ 解法一：如圖，作PM//AC交BG于M，交BO于N，

∴∠PNE=∠BOC=90°，∠BPN=∠OCB，
∵∠OBC=∠OCB=45°，∴∠NBP=∠NPB，
∴NB=NP．
∵∠MBN=90°－∠BMN， ∠NPE=90°－∠BMN，
∴∠MBN=∠NPE，
∴△BMN≌△PEN，
∴BM=PE．
∵∠BPE=∠ACB，∠BPN=∠ACB，
∴∠BPF=∠MPF．
∵PF⊥BM，∴∠BFP=∠MFP=90°．
又∵PF=PF， ∴△BPF≌△MPF，
∴BF="MF" ，即BF=BM，
∴BF=PE， 即＝．
解法二：如圖，作CM//PF交BG于M，交BO于N，

∴，
且∠BPE=∠BCM，
∵∠BPE=∠ACB，
∴∠BCM=∠GCM，
∵CM//PF，PF⊥BG，∴CM⊥BG，
∴∠CMB=∠CMG=90°．
又∵CM=CM，∴△BCM≌△GCM，
∴BM=MG，即BM=BG，
又由⑴得，BG=CN．
∴．
⑶
如圖，過點P作PM∥AC，交BG于M，交BO于N
∴∠BAC=∠BPM=α,又∠BPE＝∠BCA，
∴∠MPF=∠BPF,又∵PF⊥BG,PF=PF
∴△BPF≌△MPF
∴MF=BF
∵四邊形ABCD是菱形，所以AC⊥BD
∵MP∥AC, ∴MP⊥BD
∴∠MNB=∠ENP
∵∠NEP=∠FEB
又∠FBE+∠FEB=90°=∠NPE+∠NEP
∴∠FBE=∠NPE
∴△BMN∽≌△PEN
∴
∵BM=2BF,在RT△BNP中，又∠BAC=∠BPM=α
∴=tanα
∴＝tanα
點評：幾何綜合題，中考壓軸題種類， 難度系數較大，考查學生對幾何綜合知識的掌握程度和分析、解決問題的能力。