Question

如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，對稱中心為點P，點F為BC邊上一個動點，點E在AB邊上，且滿足條件∠EPF=45°，圖中兩塊陰影部分圖形關于直線AC成軸對稱，設它們的面積和為S₁．

（1）求證：∠APE=∠CFP；
（2）設四邊形CMPF的面積為S₂，CF=x，．
①求y關于x的函數解析式和自變量x的取值范圍，并求出y的最大值；
②當圖中兩塊陰影部分圖形關于點P成中心對稱時，求y的值．

Answer 1

（1）見解析（2）①y的最大值為1②

解：（1）證明：∵∠EPF=45°，∴∠APE+∠FPC=180°－45°=135°。
而在△PFC中，由于PF為正方形ABCD的對角線，則∠PCF=45°，
∴∠CFP+∠FPC=180°－45°=135°。∴∠APE=∠CFP。
（2）①∵∠APE=∠CFP，且∠FCP=∠PAE=45°，∴△APE∽△CPF，∴。
而在正方形ABCD中，邊長為4，AC為對角線，則。
又∵P為對稱中心，∴AP=CP=。
∴，即。
如圖，過點P作PH⊥AB于點H，PG⊥BC于點G，

∵P為AC中點，則PH∥BC，且PH=BC=2，同理PG=2。
∴。
∵陰影部分關于直線AC軸對稱，
∴△APE與△APN也關于直線AC對稱。∴。
∵，∴。
∴。
∵E在AB上運動，F在BC上運動，且∠EPF=45°，∴2≤x≤4。
令，則。
∴，當，即x=2時，y取得最大值，最大值為1。
∴y關于x的函數解析式為：（2≤x≤4），y的最大值為1。
②圖中兩塊陰影部分圖形關于點P成中心對稱，而此兩塊圖形也關于直線AC成軸對稱，則陰影部分圖形自身關于直線BD對稱，
則EB=BF，即AE=FC，∴=x，解得x=，
代入，得。
（1）利用正方形與三角形的相關角之間的關系可以證明結論。
（2）本問關鍵是求出y與x之間的函數解析式。
①首先分別用x表示出S₁與S₂，然后計算出y與x的函數解析式．它可轉換為一個二次函數，應用二次函數最值原理求出其最大值。
②根據中心對稱、軸對稱的幾何性質，得AE=FC，據此列式求解。