Question

【題目】心理學家研究發現，一般情況下，一節課40分鐘中，學生的注意力隨教師講課的變化而變化．開始上課時，學生的注意力逐步增強，中間有一段時間學生的注意力保持較為理想的穩定狀態，隨后學生的注意力開始分散．經過實驗分析可知，學生的注意力指數y隨時間x（分鐘）的變化規律如下圖所示（其中AB、BC分別為線段，CD為雙曲線的一部分）：

（1）求出線段AB，曲線CD的解析式，并寫出自變量的取值范圍；
（2）開始上課后第五分鐘時與第三十分鐘時相比較，何時學生的注意力更集中？
（3）一道數學競賽題，需要講19分鐘，為了效果較好，要求學生的注意力指數最低達到36，那么經過適當安排，老師能否在學生注意力達到所需的狀態下講解完這道題目？

Answer 1

【答案】
（1）解：設線段AB所在的直線的解析式為y1=k1x+20，

把B（10，40）代入得，k1=2，

∴AB解析式為：y1=2x+20（0≤x≤10）．

設C、D所在雙曲線的解析式為y2= ，

把C（25，40）代入得，k2=1000，

∴曲線CD的解析式為：y2= （x≥25）

（2）解：當x1=5時，y1=2×5+20=30，

當x2=30時，y2= ，

∴y1＜y2

∴第30分鐘注意力更集中．

（3）解：令y1=36，

∴36=2x+20，

∴x1=8

令y2=36，

∴36= ，

∴x2= ≈27.8，

∵27.8﹣8=19.8＞19，

∴經過適當安排，老師能在學生注意力達到所需的狀態下講解完這道題目．

【解析】（1）觀察圖像可知A、B、C三點坐標，利用待定系數法就可以求出直線AB和雙曲線CD的函數解析式；
（2）利用（1）中所求的函數解析式，分別得出第五分鐘時與第三十分鐘時注意力指數，最后比較判斷即可；
（3）此題分別求出注意力指數為36時的兩個時間，再將兩數之差與19進行比較大小，大于19的就可以講完，否則不能。