Question

【題目】如圖，是的直徑，切于點，點是上的一點，且，.

（1）求證：是的切線；

（2）若的半徑為2，求弦及，的長.

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2)PA=PB=AB=2.

【解析】

（1）連接OB，證PB⊥OB．根據四邊形的內角和為360°，結合已知條件可得∠OBP=90°得證．

（2）連接OP，根據切線長定理得直角三角形，運用三角函數求解．

（1）證明：連接OB．

∵OA=OB，

∴∠OBA=∠BAC=30°．

∴∠AOB=180°-30°-30°=120°．

∵PA切⊙O于點A，

∴OA⊥PA，

∴∠OAP=90°．

∵四邊形的內角和為360°，

∴∠OBP=360°-90°-60°-120°=90°．

∴OB⊥PB．

又∵點B是⊙O上的一點，

∴PB是⊙O的切線．

（2）連接OP；

∵PA、PB是⊙O的切線，

∴PA=PB，∠OPA=∠OPB=∠APB=30°．

在Rt△OAP中，∠OAP=90°，∠OPA=30°，

∴OP=2OA=2×2=4，

∴PA=＝＝2．

∵PA=PB，∠APB=60°，

∴PA=PB=AB=2．