Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，AB=4，E，F(xiàn)分別是邊BC，CD邊上的動(dòng)點(diǎn)，且AE=AF，設(shè)△AEF的面積為y，EC的長(zhǎng)為x．

（1）求y與x之間的函數(shù)表達(dá)式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍．
（2）當(dāng)x取何值時(shí)，△AEF的面積最大，最大面積是多少？
（3）在直角坐標(biāo)系中畫(huà)出y關(guān)于x的函數(shù)的圖象．

Answer 1

【答案】
（1）

解：在正方形ABCD中，AB=AD，

在Rt△ABE和Rt△ADF中，

，

∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），

∴BE=DF，

∴CE=CF，

∵CE=x，

∴BE=DF=4﹣x，

∴y=42﹣2× ×4×（4﹣x）﹣ x2，

=﹣ x2+4x，

即y=﹣ x2+4x．

∵E、F分別是BC、CD邊上的動(dòng)點(diǎn)，且保證A、E、F能構(gòu)成三角形，

∴x的取值范圍是：0≤x≤4

（2）

解：∵y=﹣ x2+4x=﹣ （x﹣4）2+8，0＜x≤4，

∴當(dāng)x=4時(shí)，△AEF的面積最大，最大面積是8

（3）

解：如圖所示，

【解析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB=AD，再利用“HL”證明Rt△ABE和Rt△ADF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得BE=DF，然后求出CE=CF，再根據(jù)△AEF的面積等于正方形的面積減去三個(gè)直角三角形的面積列式整理即可得解；（2）結(jié)合（1）中二次函數(shù)解析式和x的取值范圍來(lái)求△AEF的面積的最大值；（3）利用（1）中二次函數(shù)解析式畫(huà)出函數(shù)圖象，注意x的取值范圍．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的函數(shù)的圖象和三角形三邊關(guān)系，需要了解函數(shù)的圖像是由直角坐標(biāo)系中的一系列點(diǎn)組成；圖像上每一點(diǎn)坐標(biāo)（x，y）代表了函數(shù)的一對(duì)對(duì)應(yīng)值，他的橫坐標(biāo)x表示自變量的某個(gè)值，縱坐標(biāo)y表示與它對(duì)應(yīng)的函數(shù)值；三角形兩邊之和大于第三邊；三角形兩邊之差小于第三邊；不符合定理的三條線段，不能組成三角形的三邊才能得出正確答案．