Question

【題目】閱讀下列材料，然后解決問題：

截長法與補短法在證明線段的和、差、倍、分等問題中有著廣泛的應用．具體的做法是在某條線段上截取一條線段等于某特定線段，或將某條線段延長，使之與某特定線段相等，再利用全等三角形的性質等有關知識來解決數學問題．

(1)如圖①，在△ABC中，若AB＝12，AC＝8，求BC邊上的中線AD的取值范圍．

解決此問題可以用如下方法：延長AD到點E使DE＝AD，再連接BE，把AB、AC、2AD集中在△ABE中．利用三角形三邊的關系即可判斷中線AD的取值范圍是 ；

(2)問題解決：

如圖②，在△ABC中，D是BC邊上的中點，DE⊥DF于點D，DE交AB于點E，DF交AC于點F，連接EF，求證：BE＋CF＞EF；

(3)問題拓展：

如圖③，在四邊形ABCD中，∠B＋∠D＝180°，CB＝CD，∠BCD＝140°，以C為頂點作一個70°角，角的兩邊分別交AB，AD于E，F兩點，連接EF，探索線段BE，DF，EF之間的數量關系，并加以證明．

Answer 1

【答案】(1) (2)證明見解析(3)BE＋DF＝EF

【解析】試題分析：（1）延長AD至E，使DE=AD，連接BE．由SAS證明△BDE≌△CDA，得出BE=AC=6，在△ABE中，由三角形的三邊關系求出AE的取值范圍，即可得出AD的取值范圍；

（2）延長FD至點G，使DG＝DF，連接BG，EG．同（1）得△BDG≌△CDF，得出BG＝CF，由線段垂直平分線的性質得出EF＝EG，在△BEG中，由三角形的三邊關系得出BE＋BG>EG即可得出結論；

（3）延長AB至點G，使BG=DF，連接CG．證出∠CBG＝∠D，由SAS證明△CBG≌△CDF，得出CG＝CF，∠BCG＝∠DCF，證出∠ECG=70°=∠ECF，再由SAS證明△ECG≌△ECF，得出EG=EF，即可得出結論．

解：（1）延長AD至E，使DE=AD，連接BE，如圖①所示：

∵AD是BC邊上的中線，∴BD=CD，在△BDE和△CDA中，∵BD=CD，∠BDE=∠CDA，DE=AD，∴△BDE≌△CDA（SAS），∴BE=AC=6，在△ABE中，由三角形的三邊關系得：AB﹣BE＜AE＜AB+BE，∴12﹣8＜AE＜12+8，即4＜AE＜20，∴2＜AD＜10；

(2)證明：延長FD至點G，使DG＝DF，連接BG，EG．

∵點D是BC的中點，∴DB＝DC．

在△BDG和△CDF中，

∵DG=DF，∠BDG=∠CDF，DB=DC，∴△BDG≌△CDF(SAS)，∴BG＝CF．

∵ED⊥FD，即ED⊥FG．

又∵FD＝GD，∴EF＝EG．

在△BEG中，∵BE＋BG>EG， ∴BE＋CF>EF．

(3)解：BE＋DF＝EF．證明如下：

如圖，延長AB至點G，使BG＝DF，連接CG．

∵∠ABC＋∠D＝180°，∠ABC＋∠CBG＝180°，∴∠CBG＝∠D．

在△CBG和△CDF中，

∵BG=DF，∠CBG=∠CDF，CB=CD，∴△CBG≌△CDF(SAS)， ∴CG＝CF，∠BCG＝∠DCF，．

∵∠BCD＝140°，∠ECF＝70°，∴∠DCF＋∠BCE＝70°，∴∠BCE＋∠BCG＝70°，∴∠ECG＝∠ECF＝70°．

在△ECG和△ECF中，

∵CE=CE，∠ECG=∠ECF，CG=C，∴△ECG≌△ECF(SAS)，∴EG＝EF．

∵BE＋BG＝EG，∴BE＋DF＝EF．