Question

如圖，四邊形ABCD是正方形，E是CD的中點，P是邊BC上一點，下列條件中：①∠APB=∠EPC；②∠APE的平分線垂直于BC；③P是BC的中點；④BP：BC=2：3．可以得到△ABP∽△ECP的是

①②④

．（填序號）

Answer 1

分析：由四邊形ABCD為正方形，得到四條邊相等，四個內角都為直角．
若∠APB=∠EPC，加上∠B=∠C=90°，利用兩對對應角相等的兩三角形相似可得出三角形ABP與三角形ECP相似；
若∠APE的平分線垂直于BC，根據題意畫出相應的圖形，根據QP垂直BC，得到∠QPB=∠QPC=90°，再由PQ為角平分線得到一對角相等，兩等式相減可得出∠APB=∠EPC，加上∠B=∠C=90°，利用兩對對應角相等的兩三角形相似可得出三角形ABP與三角形ECP相似；
若P為BC的中點，由E也為CD的中點，得到CP=CE，又∠C=90°，可得出三角形PEC為等腰直角三角形，而三角形ABP中，AB=2BP，不為等腰直角三角形，故兩三角形不相似；
若BP：BC=2：3，設BP=2k，BC=3k，用BC-BP=CP表示出CP，由E為CD的中點，表示出CE，可得出AB：EC=BP：CP，且夾角∠B=∠C=90°，根據兩邊對應成比例且夾角相等的兩三角形相似可得出三角形ABP與三角形ECP相似，
綜上，得到可以得出△ABP∽△ECP的選項．

解答：解：∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠BAD=∠B=∠C=∠D=90°，
當∠APB=∠EPC時，又∠B=∠C=90°，
∴△ABP∽△ECP；
當∠APE的平分線垂直于BC，如圖所示：

∵QP⊥BC，
∴∠QPB=∠QPC=90°，
又∵PQ為∠APE的平分線，
∴∠APQ=∠EPQ，
∴∠QPB-∠APQ=∠QPC-∠EPQ，即∠APB=∠EPC，
同理可得出△ABP∽△ECP；
當P為BC中點時，BP=CP=

1

2

BC，
又∵E為CD的中點，
∴DE=CE=

1

2

CD，
∴PC=EC，
又∵∠C=90°，
∴△PEC為等腰直角三角形，
而AB=2BP，△ABP不為等腰直角三角形，
則P是BC的中點時，兩三角形不相似；
當BP：BC=2：3時，設BP=2k，則BC=3k，
∴CP=BC-BP=3k-2k=k，
又∵E為CD的中點，
∴CE=DE=

1

2

CD=

1

2

BC=

3

2

k，
∴

AB

CE

=

3k

3 2 k

=2，

BP

CP

=

2k

k

=2，
∴

AB

CE

=

BP

CP

，且∠B=∠C=90°，
∴△ABP∽△ECP，
綜上，可以得到△ABP∽△ECP的選項為①②④．
故答案為：①②④

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質，以及正方形的性質，利用了轉化的思想，其中相似三角形的判定方法為：兩對對應邊相等的兩三角形相似；兩邊對應成比例且夾角相等的兩三角形相似；三邊對應成比例的三角形相似．