Question

【題目】已知：如圖，在△ABC中，∠C=90°，AE是△ABC的角平分線；ED平分∠AEB，交AB于點D；∠CAE∠B．

（1）求∠B的度數．

（2）如果AC=3cm，求AB的長度．

（3）猜想：ED與AB的位置關系，并證明你的猜想．

Answer 1

【答案】（1）∠B=30°；（2）6cm；（3）ED⊥AB．

【解析】

試題分析：（1）先由角平分線的定義及已知條件得出∠CAE=∠EAB=∠B，再根據直角三角形兩銳角互余得出∠CAE+∠EAB+∠B=3∠B=90°，那么∠B=30°；

（2）根據30°角所對的直角邊等于斜邊的一半得出AB=2AC=6cm；

（3）先由∠EAB=∠B，根據等角對等邊得出EB=EA，又ED平分∠AEB，根據等腰三角形三線合一的性質得到ED⊥AB．

解：（1）∵AE是△ABC的角平分線，

∴∠CAE=∠EAB，

∵∠CAE=∠B，

∴∠CAE=∠EAB=∠B．

∵在△ABC中，∠C=90°，

∴∠CAE+∠EAB+∠B=3∠B=90°，

∴∠B=30°；

（2）∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=3cm，

∴AB=2AC=6cm；

（3）猜想：ED⊥AB．理由如下：

∵∠EAB=∠B，

∴EB=EA，

∵ED平分∠AEB，

∴ED⊥AB．