Question

【題目】如圖，已知點(diǎn)A（0，4），B（2，0）．

（1）求直線AB的函數(shù)解析式；
（2）已知點(diǎn)M是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），以M為頂點(diǎn)的拋物線y=（x﹣m）2+n與線段OA交于點(diǎn)C．
①求線段AC的長(zhǎng)；（用含m的式子表示）
②是否存在某一時(shí)刻，使得△ACM與△AMO相似？若存在，求出此時(shí)m的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：設(shè)直線AB的函數(shù)解析式為：y=kx+b．

∵點(diǎn)A坐標(biāo)為（0，4），點(diǎn)B坐標(biāo)為（2，0），

∴ ，解得： ，

即直線AB的函數(shù)解析式為y=﹣2x+4

（2）

解：①∵以M為頂點(diǎn)的拋物線為y=（x﹣m）2+n，

∴拋物線頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，n）．

∵點(diǎn)M在線段AB上，∴n=﹣2m+4，

∴y=（x﹣m）2﹣2m+4．

把x=0代入y=（x﹣m）2﹣2m+4，

得y=m2﹣2m+4，即C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，m2﹣2m+4），

∴AC=OA﹣OC=4﹣（m2﹣2m+4）=﹣m2+2m；

②存在某一時(shí)刻，能夠使得△ACM與△AMO相似．理由如下：

過點(diǎn)M作MD⊥y軸于點(diǎn)D，則D點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣2m+4），

∴AD=OA﹣OD=4﹣（﹣2m+4）=2m．

∵M(jìn)不與點(diǎn)A、B重合，∴0＜m＜2，

又∵M(jìn)D=m，∴AM= = m．

∵在△ACM與△AMO中，∠CAM=∠MAO，∠MCA＞∠AOM，

∴當(dāng)△ACM與△AMO相似時(shí)，假設(shè)△ACM∽△AMO，

∴ ，即 ，

整理，得 9m2﹣8m=0，解得m= 或m=0（舍去），

∴存在一時(shí)刻使得△ACM與△AMO相似，且此時(shí)m= ．

【解析】（1）設(shè)直線AB的函數(shù)解析式為：y=kx+b，將A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入，運(yùn)用待定系數(shù)法即可求出直線AB的函數(shù)解析式；（2）①先由拋物線的頂點(diǎn)式為y=（x﹣m）2+n得出頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，n），由點(diǎn)M是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，得出n=﹣2m+4，則y=（x﹣m）2﹣2m+4，再求出拋物線y=（x﹣m）2+n與y軸交點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后根據(jù)AC=OA﹣OC即可求解；②過點(diǎn)M作MD⊥y軸于點(diǎn)D，則D點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣2m+4），AD=OA﹣OD=2m，由勾股定理求出AM= m．在△ACM與△AMO中，由于∠CAM=∠MAO，∠MCA＞∠AOM，所以當(dāng)△ACM與△AMO相似時(shí)，只能是△ACM∽△AMO，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例得出 ，即 ，解方程求出m的值即可．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而減小；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而減小才能正確解答此題．