Question

【題目】如圖1，有兩個全等的直角三角形△ABC和△EDF，∠ACB=∠F=90°，∠A=∠E=30°，點D在邊AB上，且AD=BD=CD．△EDF繞著點D旋轉，邊DE，DF分別交邊AC于點M，K．

（1）如圖2、圖3，當∠CDF=0°或60°時，AM+CKMK（填“＞”，“＜”或“=”），你的依據是；

（2）如圖4，當∠CDF=30°時，AM+CKMK（填“＞”或“＜”）；

（3）猜想：如圖1，當0°＜∠CDF＜60°時，AM+CKMK，試證明你的猜想．.

Answer 1

【答案】
（1）=,等腰三角形的性質
（2）＞
（3）＞,證明：作點A關于ED的對稱點G,連接GK,GM,GD．∵點G是點A關于直線DE的對稱點∴AD=GD,GM=AM,∠GDM=∠ADM,∵Rt△ABC 中,D是AB的中點,∴AD=CD=GD．∵∠A=∠E=30°,∴∠CDA=120°,∠EDF=60°, ∴∠GDM+∠GDK=60°,∠ADM+∠CDK=60°,∴∠GDK=∠CDK,在△GDK和△CDK中,∵ ,∴△GDK≌△CDK（SAS）,∴GK=CK,∵GM+GK＞MK,∴AM+CK＞MK．
【解析】（1）如圖2當∠CDF=0°時，DK與DC重合，CK=0，根據等邊對等角得出∠CAD=ACD=30，又因∠FDE=60，故∠DMC=90,即DMAC，根據等腰三角形的三線合一得出AM=CM,從而得出AM+CK=MK;如圖3，當∠CDF=60°時，AK與DM重合，AM=0,又因∠FDE=60，CAD=30故∠DKA=90,即DKAC，根據等腰三角形的三線合一得出AK=CK,從而得出AM+CK=AK;
(2)如圖4，當∠CDF=30°時，根據等邊對等角得出A=ACD=30又∠CDF=30°∠EDF=60°，故ACD=30=∠CDF=A=ADM,蔥的得出AM=MD,DK=CK,在△DKM中DM+DKMK,從而得出AM+CKMK;
(3)作點A關于ED的對稱點G，連接GK，GM，GD．根據對稱性知：AD=GD，GM=AM，∠GDM=∠ADM，根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得AD=CD=GD，根據等式的性質知∠GDK=∠CDK，從而用SAS判斷出△GDK≌△CDK，根據全等三角形的性質GK=CK，根據三角形三邊的關系知GM+GK＞MK，從而得出AM+CK＞MK．

【考點精析】本題主要考查了三角形三邊關系和等腰三角形的性質的相關知識點，需要掌握三角形兩邊之和大于第三邊；三角形兩邊之差小于第三邊；不符合定理的三條線段，不能組成三角形的三邊；等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）才能正確解答此題．