Question

（2012•聊城一模）在一平直河岸l同側有A，B兩個村莊，A，B到l的距離分別是3km和2km，AB=akm（a＞1）．現計劃在河岸l上建一抽水站P，用輸水管向兩個村莊供水．
某班數學興趣小組設計了兩種鋪設管道方案：圖1是方案一的示意圖，設該方案中管道長度為d₁，且d₁=PB+BA（km）（其中BP⊥l于點P）；圖2是方案二的示意圖，設該方案中管道長度為d₂，且d₂=PA+PB（km）（其中點A′與點A關于l對稱，A′B與l交于點P）．

觀察計算：（1）在方案一中，d₁=

a+2

km（用含a的式子表示）；
（2）在方案二中，組長小宇為了計算d₂的長，作了如圖3所示的輔助線，請你按小宇同學的思路計算，d₂=

a2+24

km（用含a的式子表示）．
探索歸納：（1）①當a=4時，比較大小：d₁

＜

d₂（填“＞”、“=”或“＜”）；
②當a=6時，比較大小：d₁

＞

d₂（填“＞”、“=”或“＜”）；
（2）請你參考方法指導，就a（當a＞1時）的所有取值情況進行分析，要使鋪設的管道長度較短，應選擇方案一還是方案二？
方法指導：當不易直接比較兩個正數m與n的大小時，可以對它們的平方進行比較：
∵m²-n²=（m+n）（m-n），m+n＞0，
∴（m²-n²）與（m-n）的符號相同．
當m²-n²＞0時，m-n＞0，即m＞n；
當m²-n²=0時，m-n=0，即m=n；
當m²-n²＜0時，m-n＜0，即m＜n．

Answer 1

分析：觀察計算：（1）由題意可以得知管道長度為d₁=PB+BA（km），根據BP⊥l于點P得出PB=2，故可以得出d₁的值為a+2．
（2）由條件根據勾股定理可以求出KB的值，由軸對稱可以求出′K的值，在Rt△KBA′由勾股定理可以求出A′B的值

a2+24

就是管道長度．
探索歸納：（1）①把a=4代入d₁=a+2和d₂=

a2+24

就可以比較其大小；
②把a=6代入d₁=a+2和d₂=

a2+24

就可以比較其大小；
（2）分類進行討論當d₁＞d₂，d₁=d₂，d₁＜d₂時就可以分別求出a的范圍，從而確定選擇方案．

解答：解：（1）∵BP⊥l，
∴BP=2，
∵AB=a，
∴d₁=a+2．
（2）∵點A′與點A關于l對稱，
∴AA′=6，
∵BK⊥AA′，
∴AK=1，在Rt△ABK中，由勾股定理，得
∴BK²=a²-1，
在Rt△KBA′由勾股定理，得
A′B²=25+a²-1=a2+24．
∴A′B=

a2+24

探索歸納
（1）①當a=4時，d₁=6，d₂=2

10

，
∵6＜2

10

，
∴d₁＜d₂．
  ②當a=6時，d₁=8，d₂=2

15

，
∵8＞2

15

，
∴d₁＞d₂．
（2）∵d₁²-d₂²=（a+2）²-（

a2+24

）²=4a-20，
∴①當4a-20＞0，即a＞5時，d₁＞d₂；
∴選擇方案二鋪設管道較短．
②當4a-20=0，a=5時，d₁=d₂；
∴選擇方案一、二鋪設管道一樣長
③當4a-20＜0，即a＜5時，d₁＜d₂．
∴選擇方案一鋪設管道較短．
綜上可知：當a＞5時，選方案二；
當a=5時，選方案一或方案二；
當1＜a＜5 時，選方案一．
故答案為：a+2，

a2+24

，＜，＞．

點評：本題考查了軸對稱的性質的運用，最短路線問題數學模式的運用，勾股定理的運用，數的大小的比較方法的運用．