Question

已知：在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，直線MN是梯形的對稱軸，P是MN上的一點．直線BP交直線DC于F，交CE于E，且CE∥AB．
（1）若點P在梯形的內部，如圖①．求證：BP²=PE•PF；
（2）若點P在梯形的外部，如圖②，那么（1）的結論是否成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．

Answer 1

（1）證明：連接PC，
直線MN是等腰梯形ABCD的對稱軸，
∴BP=CP，∠PBC=∠PCB，∠ABC=∠DCB，
∵CE∥AB
∴∠E=∠ABE
∴∠PCD=∠E
∵∠FPC=∠FPC
∴△PCF∽△PEC
∴PC：PE=PF：PC
∴BP²=PE•PF；

（2）成立．
連接PC，
理由：直線MN是等腰梯形ABCD的對稱軸，
∴BP=CP，∠PBC=∠PCB，∠ABC=∠DCB，
∵CE∥AB，
∴∠CEF=∠ABE，
∴∠ABC=∠BCE，∠PCE=∠BCE-∠BCP=∠ABC-∠CBP=∠DCB-∠CBP=∠F，即∠F=∠DCB-∠CBF，
∵∠FPC=∠FPC，
∴△PCF∽△PEC，
∴PC：PE=PF：PC，
∴BP²=PE•PF．