Question

如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC=2，∠C=60°，AE⊥BD于點E，F是CD的中點，連接EF．
（1）求證：四邊形AEFD是平行四邊形；
（2）若點G是BC邊上的一個動點，當點G在什么位置時，四邊形DEFG是矩形？并求出這個矩形的周長；
（3）在BC上能否找到另外一點G′，使四邊形DEG′F的周長與（2）中矩形DEFG的周長相等，請簡述你的理由．

Answer 1

（1）證明：∵梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC=2，
∴四邊形ABCD為等腰梯形，∠C=60°，
∴∠BAD=∠ADC=120°，
又∵△ABD為等腰三角形，AE⊥BD，
∴∠EAD=

1

2

∠BAD=60°，BE=DE，
在Rt△ADE中，∠ADE=90°-∠EAD=30°，
∴∠BDC=∠ADC-∠ADE=90°，
∴AE∥DF，
∵E、F兩點為BD、CD邊的中點，
∴EF∥BC∥AD，
∴四邊形AEFD是平行四邊形；

（2）延長AE交BC于G，連接FG，
∵BE=ED，AE∥CD，∴AD=BG=GC，
∴G點為BC的中點，
∴FG∥DE，
而∠EDF=90°，
∴四邊形DEGF是矩形，
在Rt△DEF中，DE=

3

，DF=1，
∴矩形的周長=2+2

3

；

（3）可以．
當CG′=CF=1時，△G′EF與△DEF關于直線EF軸對稱，
DF=FG′，DE=EG′，
則四邊形DEG′F的周長=2+2

3

；
周長不變．