Question

如圖，已知⊙A半徑為2，⊙B半徑為1，AB=4，P為線段AB上的動點(diǎn)，且PC切⊙A于點(diǎn)C，PD切⊙B于點(diǎn)D．
（1）已知PC²+PD²=4，求PB的長；
（2）在線段AB上存在點(diǎn)P，使PC⊥PD，垂足為P，此時(shí)有△APC∽△PBD．請問：除此外，在線段AB上是否存在另一點(diǎn)P，使得△APC與△BPD相似？若存在，請問此時(shí)點(diǎn)P的位置在何處，同時(shí)判斷此時(shí)直線PC與⊙B的位置關(guān)系并加以證明；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)AP交⊙A與M，MP=x，則AP=2+x，PB=2-x，由勾股定理得：PC²=PA²-AC²，PD²=PB²-BD²，求出x即可；
（2）先假設(shè)存在，再根據(jù)已知條件△APC∽△PBD進(jìn)行推理，計(jì)算結(jié)果成立，即存在；計(jì)算結(jié)果不成立，即不存在．

解答：解：（1）設(shè)AP交⊙A與M，MP=x，則AP=2+x，PB=2-x，PD、PC是切線，
由勾股定理得：PC²=PA²-AC²，PD²=PB²-BD²，
由題意得：（2+x）²-2²+（2-x）²-1²=4，
解得，x=±

2

2

，
取x=

2

2

，x=-

2

2

（不合題意，舍去），
∴PB=2-

2

2

．

（2）Rt△PAC和Rt△PBD中，由于AC=2BD，
當(dāng)PC：PD=PA：PB=2：1成立時(shí)，
△PCA∽△PDB，
求得PB=

4

3

，
即PB=

1

3

AB=

4

3

時(shí)，△PCA∽△PDB．
此時(shí)有∠BPD=∠APC，
延長CP到E，作BE⊥PE，垂足為E，
∵有∠BPD=∠APC=∠BPE，即PB平分∠DPE．
又∵BD⊥PD，
∴BE=BD=1．
∴PE也是⊙B的切線即直線PC與⊙B相切．

點(diǎn)評：本題考查了切線的判定和性質(zhì)及存在性問題，熟圓與圓的位置關(guān)系及相似三角形的位置關(guān)系是解題的關(guān)鍵．