Question

如圖，OM⊥ON．已知邊長為2的正三角形ABC，兩頂點A、B分別向射線OM，ON上滑動，當∠OAB=21°時，∠NBC=

51°

．滑動過程中，連接OC，則OC的長的最大值是

3

+1

．

Answer 1

分析：根據直角三角形的兩銳角互余，由∠OAB的度數求出∠ABO的度數，再由三角形ABC為等邊三角形，可得內角∠ABC為60°，根據∠NBC=180°-∠ABC-∠ABO，即可求出∠NBC的度數；取AB的中點D，連接OD及DC，根據三角形的邊角關系得到OC小于等于OD+DC，只有當O、D及C共線時，OC取得最大值，最大值為OD+CD，由等邊三角形的邊長為2，根據D為AB中點，得到BD為1，根據三線合一得到CD垂直于AB，在直角三角形BCD中，根據勾股定理求出CD的長，在直角三角形AOB中，OD為斜邊AB上的中線，根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得OD等于AB的一半，由AB的長求出OD的長，進而求出DC+OD，即為OC的最大值．

解答：解：等邊三角形各內角為60°，
∵∠NBC=180°-∠ABC-∠ABO，∠ABO=90°-∠OAB，∠OAB=21°，
∴∠NBC=51°；
取AB中點D，連OD，DC，有OC≤OD+DC，
當O、D、C共線時，OC有最大值，最大值是OD+CD．
∵△ABC為等邊三角形，D為中點，
∴BD=1，BC=2，根據勾股定理得：CD=

3

，
又△AOB為直角三角形，D為斜邊AB的中點，
∴OD=

1

2

AB=1，
∴OD+CD=1+

3

，即OC的最大值為1+

3

．
故答案為：51°；1+

3

點評：此題考查了等邊三角形的性質，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，以及勾股定理，其中找出OC最大時的長為CD+OD是解本題的關鍵．