Question

如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，∠BCD，∠ADC的平分線CF、DG分別交邊AB于點F、G．
（1）求證：AF=GB；
（2）試在已知條件下再添加一個條件，使得△EFG為等腰直角三角形，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）由四邊形ABCD是平行四邊形，根據平行四邊形對邊平行且相等，又由∠BCD，∠ADC的平分線為CF、DG，易證得△ADG與△BFC是等腰三角形，繼而可得AF=GB；
（2）由四邊形ABCD是平行四邊形，易證得△EFG為等腰三角形，然后可得要使△EFG為等腰直角三角形，那么∠GFE=∠EGF=45°，繼而可得需添加的條件為：∠ADC=90°．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，AD=BC，
∴∠AGD=∠GDC，
∵DG平分∠ADC，
∴∠ADG=∠GDC，
∴∠ADG=∠AGD，
∴AD=AG，
同理：BF=BC，
∴AG=BF，
∴AG-FG=BF-FG，
即AF=GB；

解：（2）再添加的條件為：∠ADC=90°．
理由：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠ADC+∠DCB=180°，
∵∠BCD，∠ADC的平分線是CF、DG，
∴∠EDC+∠ECD=90°，
∴∠DEC=90°，
∴∠FEG=90°，
即△EFG是直角三角形，
要使△EFG為等腰直角三角形，
那么∠GFE=∠EGF=45°，
∴∠GDC=45°，
∴∠ADC=90°．
∴要添加的條件為：∠ADC=90°．

點評：此題考查了平行四邊形的性質，等腰三角形的判定與性質，角平分線的定義以及等腰直角三角形性質等知識．此題綜合性較強，難度較大，解題的關鍵是注意掌握由平行線與角平分線，可得等腰三角形，注意數形結合思想的應用．