Question

【題目】如圖，已知，，，．是射線上的動點（點與點不重合），是線段的中點，連結，交線段于點，如果以，，為頂點的三角形與相似，則線段的長為________．

Answer 1

【答案】或

【解析】

如果△ADN和△BME相似，一定不相等的角是∠ADN和∠MBE，因為AD∥BC，如果兩角相等，那么M與D重合，顯然不合題意．因此本題分①當∠ADN=∠BME時和②當∠AND=∠BEM時，兩種情況解答即可．

因為如果△ADN和△BME相似，一定不相等的角是∠ADN和∠MBE，因為AD∥BC，如果兩角相等，那么M與D重合，顯然不合題意，故應分兩種情況進行討論．

圖1，當∠ADN=∠BEM時，那么∠ADB=∠BEM，∴tan∠ADB=tan∠BEM．

作DF⊥BE，垂足為F，可得四邊形ABFD為矩形，則AB=DF，設BE=x，

∵tan∠ADB= AB：AD，tan∠BEM =DF：FE，

∴AB：AD=DF：FE=AB：（BE-AD）．

即2：4=2：（x-4）．

解得x=8．

即BE=8．

②如圖2，當∠ADB=∠BME，

而∠ADB=∠DBE，

∴∠DBE=∠BME，

∵∠E是公共角，

∴△BED∽△MEB，

∴，即BE2=DEEM，

∵M是線段DE的中點，

∴EM=DE,

設BE=x，結合圖1，根據勾股定理可得：

∴= [22+（x-4）2]，

∴x1=2，x2=-10（舍去），

∴BE=2．

綜上，線段BE的長為8或2，

故答案為8或2．