Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC為直徑作⊙O交AB于點D，E為BC的中點，連接DE并延長交AC的延長線于點F．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若CF=2，DF=4，求⊙O直徑的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖，連接OD、CD，

∵AC為⊙O的直徑，

∴△BCD是直角三角形，

∵E為BC的中點，

∴BE=CE=DE，

∴∠CDE=∠DCE，

∵OD=OC，

∴∠ODC=∠OCD，

∵∠ACB=90°，

∴∠OCD+∠DCE=90°，

∴∠ODC+∠CDE=90°，即OD⊥DE，

∴DE是⊙O的切線

（2）解：設⊙O的半徑為r，

∵∠ODF=90°，

∴OD2+DF2=OF2，即r2+42=（r+2）2，

解得：r=3，

∴⊙O的直徑為6

【解析】（1）連接OD、CD，由AC為⊙O的直徑知△BCD是直角三角形，結合E為BC的中點知∠CDE=∠DCE，由∠ODC=∠OCD且∠OCD+∠DCE=90°可得答案；（2）設⊙O的半徑為r，由OD2+DF2=OF2 ， 即r2+42=（r+2）2可得r=3，即可得出答案．