Question

已知：在菱形ABCD中，O是對角線BD上的一動點．
（1）如圖甲，P為線段BC上一點，連接PO并延長交AD于點Q，當O是BD的中點時，求證：OP=OQ；
（2）如圖乙，連接AO并延長，與DC交于點R，與BC的延長線交于點S．若AD=4，∠DCB=60°，BS=10，求AS和OR的長．

Answer 1

分析：（1）求簡單的線段相等，可證線段所在的三角形全等，即證△ODQ≌△OBP．
（2）首先求AS的長，要通過構建直角三角形求解；過A作BC的垂線，設垂足為T，在Rt△ABT中，易證得∠ABT=∠DCB=60°，又已知了斜邊AB的長，通過解直角三角形可求出AT、BT的長；進而可在Rt△ATS中，由勾股定理求出斜邊AS的值；由于四邊形ABCD是菱形，則AD∥BC，易證得△ADO∽△SBO，已知了AD、BS的長，根據相似三角形的對應邊成比例線段可得出OA、OS的比例關系式，即可求出OA、OS的長；同理，可通過相似三角形△ADR和△SCR求得AR、RS的值；由OR=OS-RS即可求出OR的長．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD為菱形，
∴AD∥BC．
∴∠OBP=∠ODQ
∵O是BD的中點，
∴OB=OD
在△BOP和△DOQ中，
∵∠OBP=∠ODQ，OB=OD，∠BOP=∠DOQ
∴△BOP≌△DOQ（ASA）
∴OP=OQ．

（2）解：如圖，過A作AT⊥BC，與CB的延長線交于T．
∵ABCD是菱形，∠DCB=60°
∴AB=AD=4，∠ABT=60°
∴在Rt△ATB中，AT=ABsin60°=2

3

TB=ABcos60°=2
∵BS=10，
∴TS=TB+BS=12，
在Rt△ATS中，
∴AS=

AT2+TS2

=2

39

．
∵AD∥BS，
∴△AOD∽△SOB．
∴

AO

OS

=

AD

SB

=

4

10

=

2

5

，
則

AS-OS

OS

=

2

5

，
∴

AS

OS

=

7

5

∵AS=2

39

，
∴OS=

5

7

AS=

10 39

7

．
同理可得△ARD∽△SRC．
∴

AR

RS

=

AD

SC

=

4

6

=

2

3

，
則

AS-SR

RS

=

2

3

，
∴

AS

RS

=

5

3

，
∴RS=

3

5

AS=

6 39

5

．
∴OR=OS-RS=

10 39

7

-

6 39

5

=

8 39

35

．（12分）

點評：此題考查了菱形的性質、全等三角形及相似三角形的判定和性質；（2）中能夠正確的構建出直角三角形，求出AS的長是解答此題的關鍵．