Question

請(qǐng)你利用直角坐標(biāo)平面上任意兩點(diǎn)（x₁，y₁）、（x₂，y₂）間的距離公式d=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

解答下列問題：
已知：反比例函數(shù)y=

2

x

與正比例函數(shù)y=x的圖象交于A、B兩點(diǎn)（A在第一象限），點(diǎn)F₁（-2，-2）、F₂（2，2）在直線y=x上．設(shè)點(diǎn)P（x₀，y₀）是反比例函數(shù)y=

2

x

圖象上的任意一點(diǎn)，記點(diǎn)P與F₁、F₂兩點(diǎn)的距離之差d=|P_^F1-P_^F2|．試比較線段AB的長度與d的大小，并由此歸納出雙曲線的一個(gè)重要定義（用簡練的語言表述）．

Answer 1

解由y=

2

x

和y=x組成的方程組可得A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，（

2

，

2

）、（-

2

，-

2

），線段AB的長度=4（2分）
∵點(diǎn)P（x₀，y₀）是反比例函數(shù)y=

2

x

圖象上一點(diǎn)，
∴y₀=

2

x0

∴PF₁=

(x0+2)2+( 2 xo +2)2

=

(x0+ 2 x0 +2)2

=|

(x0+1)2+1

x0

|，
PF₂=

(x0-2)2+( 2 xo -2)2

=

(x0+ 2 x0 -2)2

=|

(x0-1)2+1

x0

|，（3分）
∴d=|PF₁-PF₂|=||

(x0+1)2+1

x0

|-|

(x0-1)2+1

x0

||，
當(dāng)x₀＞0時(shí)，d=4；當(dāng)x₀＜0時(shí)，d=4．（3分）
因此，無論點(diǎn)P的位置如何，線段AB的長度與d一定相等．（2分）
由此可知：到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之差（取正值）是定值的點(diǎn)的集合（軌跡）是雙曲線．（2分）