Question

請你利用直角坐標平面上任意兩點（x₁，y₁）、（x₂，y₂）間的距離公式解答下列問題：
已知：反比例函數與正比例函數y=x的圖象交于A、B兩點（A在第一象限），點F₁（-2，-2）、F₂（2，2）在直線y=x上．設點P（x₀，y₀）是反比例函數圖象上的任意一點，記點P與F₁、F₂兩點的距離之差d=|P_^F1-P_^F2|．試比較線段AB的長度與d的大小，并由此歸納出雙曲線的一個重要定義（用簡練的語言表述）．

Answer 1

解：解由和y=x組成的方程組可得A、B兩點的坐標分別為，（，）、（，），線段AB的長度=4
∵點P（x₀，y₀）是反比例函數圖象上一點，
∴y₀=
∴PF₁===||，
PF₂===||，
∴d=|PF₁-PF₂|=|||-|||，
當x₀＞0時，d=4；當x₀＜0時，d=4．
因此，無論點P的位置如何，線段AB的長度與d一定相等．
由此可知：到兩個定點的距離之差（取正值）是定值的點的集合（軌跡）是雙曲線．
分析：解由和y=x組成的方程組可得A、B兩點的坐標分別為（，）、（，），利用兩點間的距離公式可求出線段AB的長度，由P為反比例函數y=上一點可得出x₀與y₀的關系式，利用兩點間的距離公式可得出PF₁、PF₂的長，代入d=|P_^F1-P_^F2|即可得到x₀的表達式，再根據x₀的取值范圍即可求出d的長，進而得出結論．
點評：本題考查的是反比例函數與一次函數的交點問題，熟練利用兩點間的距離公式是解答此題的關鍵．