Question

如圖1，點A、B分別在x軸負半軸和y軸正半軸上，點C（2，-2），CA⊥AB，且CA=AB．
（1）求點B的坐標；
（2）CA、CB分別交坐標軸于D、E，求證：S_△ABD=S_△CBD；
（3）連DE，如圖2，求證：BD-AE=DE．

Answer 1

分析：（1）作CM⊥x軸于M，求出CM=CN=2，證△BAO≌△ACM，推出AO=CM=2，OB=AM=4，即可得出答案；
（2）求出AO=CN=2，根據相似求出AD=DC，根據三角形面積公式求出即可；
（3）在BD上截取BF=AE，連AF，證△BAF≌△CAE，證△AFD≌△CED，即可得出答案．

解答：解：
（1）作CM⊥x軸于M，
∵C（2，-2），
∴CM=2，CN=2，
∵AB⊥AC，
∴∠BAC=∠AOB=∠CMA=90°，
∴∠BAO+∠CAM=90°，∠CAM+∠ACM=90°，
∴∠BAO=∠ACM，
在△BAO和△ACM中

∠BAO=∠ACM ∠AOB=∠CMA AB=AC

∴△BAO≌△ACM，
∴AO=CM=2，OB=AM=AO+OM=2+2=4，
∴B（0，4）．

（2）證明：如圖1，作CN⊥y軸于N，
∵AO=2，
∴A（-2，0），
∴OA=CN，
∴BD=BD，
∴根據等底（BD=BD）等高的三角形面積相等得出：S_△ABD=S_△CBD．

（3）證明：在BD上截取BF=AE，連AF，
∵△BAO≌△CAM，
∴∠ABF=∠CAE，
在△ABF和△ACE中

AB=AC ∠ABF=∠CAE BF=AE

∴△ABF≌△CAE（SAS），
∴AF=CE，∠ACE=∠BAF=45°，
∵∠BAC=90°，
∴∠FAD=45°=∠ECD，
在△AFD和△CED中

AD=DC ∠FAD=∠ECD AF=CE

∴△AFD≌△CED（SAS），
∴DE=DF，
∴BD-AE=DE．

點評：本題考查了全等三角形的性質和判定，相似三角形的性質和判定，三角形面積，坐標與圖形性質的應用，主要考查學生的推理能力．