Question

（2013•達州）通過類比聯想、引申拓展研究典型題目，可達到解一題知一類的目的．下面是一個案例，請補充完整．
原題：如圖1，點E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，∠EAF=45°，連接EF，則EF=BE+DF，試說明理由．

（1）思路梳理
∵AB=AD，
∴把△ABE繞點A逆時針旋轉90°至△ADG，可使AB與AD重合．
∵∠ADC=∠B=90°，
∴∠FDG=180°，點F、D、G共線．
根據

SAS

，易證△AFG≌

△AEF

，得EF=BE+DF．
（2）類比引申
如圖2，四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°點E、F分別在邊BC、CD上，∠EAF=45°．若∠B、∠D都不是直角，則當∠B與∠D滿足等量關系

∠B+∠D=180°

時，仍有EF=BE+DF．
（3）聯想拓展
如圖3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D、E均在邊BC上，且∠DAE=45°．猜想BD、DE、EC應滿足的等量關系，并寫出推理過程．

Answer 1

分析：（1）把△ABE繞點A逆時針旋轉90°至△ADG，可使AB與AD重合，再證明△AFG≌△AFE進而得到EF=FG，即可得EF=BE+DF；
（2）∠B+∠D=180°時，EF=BE+DF，與（1）的證法類同；
（3）根據△AEC繞點A順時針旋轉90°得到△ABE′，根據旋轉的性質，可知△AEC≌△ABE′得到BE′=EC，AE′=AE，∠C=∠ABE′，∠EAC=∠E′AB，根據Rt△ABC中的，AB=AC得到∠E′BD=90°，所以E′B²+BD²=E′D²，證△AE′D≌△AED，利用DE=DE′得到DE²=BD²+EC²；

解答：解：（1）∵AB=AD，
∴把△ABE繞點A逆時針旋轉90°至△ADG，可使AB與AD重合．
∴∠BAE=∠DAG，
∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠DAF=45°，
∴∠EAF=∠FAG，
∵∠ADC=∠B=90°，
∴∠FDG=180°，點F、D、G共線，
在△AFG和△AFE中

AE=AG ∠EAF=∠FAG AF=AF

，
∴△AFG≌△AFE（SAS），
∴EF=FG，
即：EF=BE+DF．

（2）∠B+∠D=180°時，EF=BE+DF；
∵AB=AD，
∴把△ABE繞點A逆時針旋轉90°至△ADG，可使AB與AD重合，
∴∠BAE=∠DAG，
∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠DAF=45°，
∴∠EAF=∠FAG，
∵∠ADC+∠B=180°，
∴∠FDG=180°，點F、D、G共線，
在△AFG和△AFE中

AE=AG ∠EAF=∠FAG AF=AF

，
∴△AFG≌△AFE（SAS），
∴EF=FG，
即：EF=BE+DF．

（3）猜想：DE²=BD²+EC²，
證明：根據△AEC繞點A順時針旋轉90°得到△ABE′，
∴△AEC≌△ABE′，
∴BE′=EC，AE′=AE，
∠C=∠ABE′，∠EAC=∠E′AB，
在Rt△ABC中，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠ABC+∠ABE′=90°，
即∠E′BD=90°，
∴E′B²+BD²=E′D²，
又∵∠DAE=45°，
∴∠BAD+∠EAC=45°，
∴∠E′AB+∠BAD=45°，
即∠E′AD=45°，
在△AE′D和△AED中，

AE′=AE ∠E′AD=∠DAE AD=AD

∴△AE′D≌△AED（SAS），
∴DE=DE′，
∴DE²=BD²+EC²．

點評：此題主要考查了幾何變換，關鍵是正確畫出圖形，證明△AFG≌△AEF．此題是一道綜合題，難度較大，題目所給例題的思路，為解決此題做了較好的鋪墊．