Question

【題目】如圖，拋物線過A（1,0）、B（－1，－1）、C（3，m）三點。

（1）求拋物線的解析式及m的值；

（2）判斷與AC的位置關系，并證明你的結論；

（3）在拋物線上是否存在點P，當PHx軸于點H時，以P、H、A為頂點的三角形與　相似？若存在，求出點P坐標；若不存在，請說明理由。

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為，m的值為-4；

（2）⊥AC ，證明見解析；

（3）存在點P共3個，分別為P1()，P2()，P3(3,-4)或P4().

【解析】試題分析：（1）待定系數法求解析式；

（2）利用勾股定理求得三邊長，由勾股定理逆定理可探究出結論；

（3）利用三角形相似的判定轉化為求方程的解而得解.

試題解析：（1）由題可知解得

；

（2）⊥AC，證明如下：

，

⊥AC .

（3）設P（），則PH=， ，

時， ∽;

∴，即，

解得或x=,

當時，P與A、B重合

，此時P()或P()；

時, ∽;

∴即

解得 ，

當x=時，與A重合

x=3 或,此時點P為P(3,-4)或P()

所以存在點P共3個，分別為P1()，P2()，P3(3,-4)或P4().