Question

如圖，反比例函數(shù)y=

k

x

在第一象限內(nèi)的圖象上有點(diǎn)A、B，已知點(diǎn)A（3m，m）、點(diǎn)B（n，n+1）（其中m＞0，n＞0），OA=2

10

．
（1）求A、B點(diǎn)的坐標(biāo)及反比例函數(shù)解析式；
（2）如果M為x軸上一點(diǎn)，N為y軸上一點(diǎn)，以A、B、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請(qǐng)直接寫(xiě)出符合條件的M、N點(diǎn)的坐標(biāo)，并畫(huà)出相應(yīng)的平行四邊形．

Answer 1

分析：（1）先由點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3m，m）及OA=2

10

，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式列出關(guān)于m的方程，解方程求出m的值，再運(yùn)用待定系數(shù)法得到k的值，然后將B點(diǎn)坐標(biāo)代入，即可求出n的值；
（2）設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為（a，0），N點(diǎn)坐標(biāo)為（0，b）．分兩種情況：①當(dāng)M點(diǎn)和A點(diǎn)相鄰時(shí)；②當(dāng)M和B點(diǎn)相鄰時(shí)．針對(duì)每一種情況，都可以根據(jù)平行四邊形的對(duì)角線互相平分的性質(zhì)及中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解．

解答：解：（1）∵A（3m，m），OA=2

10

，
∴(3m)2+m2=(2

10

)2，且m＞0．
解得m=2．
∴A的坐標(biāo)為（6，2）．
又∵點(diǎn)A在y=

k

x

的圖象上，
∴k=6×2=12．
∴反比例函數(shù)解析式為y=

12

x

．
∵點(diǎn)B（n，n+1）（其中n＞0）在y=

12

x

的圖象上，
∴n（n+1）=12．
解得n₁=3，n₂=-4（不合題意，舍去）．
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為B（3，4）；

（2）設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為（a，0），N點(diǎn)坐標(biāo)為（0，b），如圖．
分兩種情況：
①當(dāng)M點(diǎn)和A點(diǎn)相鄰時(shí)．
∵M(jìn)₁ABN₁是平行四邊形，
∴M₁B與AN₁互相平分，即M₁B的中點(diǎn)與AN₁的中點(diǎn)重合，
∴

a+3

2

=

0+6

2

，

0+4

2

=

b+2

2

，
∴a=3，b=2，
∴M₁（3，0），N₁（0，2）；
②當(dāng)M和B點(diǎn)相鄰時(shí)．
∵N₂ABM₂是平行四邊形，
∴M₂A與BN₂互相平分，即M₂A的中點(diǎn)與BN₂的中點(diǎn)重合，
∴

a+6

2

=

0+3

2

，

b+4

2

=

0+2

2

，
∴a=-3，b=-2，
∴M₂（3，0），N₂（0，-2）．
綜上可知，符合條件的M、N點(diǎn)的坐標(biāo)分別為M₁（3，0），N₁（0，2）或M₂（-3，0），N₂（0，-2）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了運(yùn)用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，反比例函數(shù)的性質(zhì)及平行四邊形的性質(zhì)，兩點(diǎn)間距離公式及中點(diǎn)坐標(biāo)公式，綜合性較強(qiáng)，有一定難度，注意分類討論思想的運(yùn)用．