Question

【題目】如圖，拋物線y=x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A和B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，3）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點(diǎn)M是拋物線上在x軸下方的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)M作MN∥y軸交直線BC于點(diǎn)N，求線段MN的最大值；

（3）E是拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，F是拋物線上一點(diǎn)，是否存在以A，B，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣4x+3；（2）；（3）存在．點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2，﹣1）或（0，3）或（4，3）．

【解析】

（1）由點(diǎn)B、C的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；
（2）設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)以及直線BC的解析式，由點(diǎn)B、C的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出直線BC的解析式，結(jié)合點(diǎn)M的坐標(biāo)即可得出點(diǎn)N的坐標(biāo)，由此即可得出線段MN的長(zhǎng)度關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，再結(jié)合點(diǎn)M在x軸下方可找出m的取值范圍，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問(wèn)題；
（3）討論：當(dāng)以AB為對(duì)角線，利用EA=EB和四邊形AFBE為平行四邊形得到四邊形AFBE為菱形，則點(diǎn)F也在對(duì)稱軸上，即F點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)，所以F點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，-4）；當(dāng)以AB為邊時(shí)，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到EF=AB=4，則可確定F的橫坐標(biāo)，然后代入拋物線解析式得到F點(diǎn)的縱坐標(biāo)．

解：（1）將點(diǎn)B（3，0）、C（0，3）代入拋物線y=x2+bx+c中，

得： ，

解得：．

故拋物線的解析式為y=x2﹣4x+3．

（2）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，m2﹣4m+3），設(shè)直線BC的解析式為y=kx+3，

把點(diǎn)B（3，0）代入y=kx+3中，

得：0=3k+3，解得：k=﹣1，

∴直線BC的解析式為y=﹣x+3．

∵MN∥y軸，

∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（m，﹣m+3）．

∵拋物線的解析式為y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，

∴拋物線的對(duì)稱軸為x=2，

∴點(diǎn)（1，0）在拋物線的圖象上，

∴1＜m＜3．

∵線段MN=﹣m+3﹣（m2﹣4m+3）=﹣m2+3m=﹣（m﹣）2+，

∴當(dāng)m=時(shí)，線段MN取最大值，最大值為．

（3）存在．點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2，﹣1）或（0，3）或（4，3）．

當(dāng)以AB為對(duì)角線，如圖1，

∵四邊形AFBE為平行四邊形，EA=EB，

∴四邊形AFBE為菱形，

∴點(diǎn)F也在對(duì)稱軸上，即F點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)，

∴F點(diǎn)坐標(biāo)為（2，﹣1）；

當(dāng)以AB為邊時(shí)，如圖2，

∵四邊形AFBE為平行四邊形，

∴EF=AB=2，即F2E=2，F(xiàn)1E=2，

∴F1的橫坐標(biāo)為0，F(xiàn)2的橫坐標(biāo)為4，

對(duì)于y=x2﹣4x+3，

當(dāng)x=0時(shí)，y=3；

當(dāng)x=4時(shí)，y=16﹣16+3=3，

∴F點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3）或（4，3）．

綜上所述，F點(diǎn)坐標(biāo)為（2，﹣1）或（0，3）或（4，3）．